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Umfang eines Kreisrings

Wenn wir aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit gleichem Mittelpunkt herausschneiden, entsteht ein Kreisring. Wir können die Ringbreite, den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreisrings berechnen. In diesem Kapitel schauen wir uns die Berechnung des Umfangs an.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Umfang eines Kreisrings ist der Fachbegriff für die Länge der Begrenzungslinie des Kreisrings.

Umfang eines Kreisrings
Abb. 1 / Umfang eines Kreisrings 

Umfang eines Kreisrings berechnen 

Innenradius und Außenradius gegeben 

Formel 

Der Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ entspricht der Summe von innerem und äußerem Kreisumfang:

$$ \begin{align*} u_{\textrm{Kreisring}} &= u_i + u_a \\[5px] &= 2\pi \cdot r_i + 2\pi \cdot r_a &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}} \end{align*} $$

$$ u_{\textrm{Kreisring}} = 2\pi \cdot (r_i + r_a) $$

Umfang eines Kreisrings berechnen aus Innenradius und Außenradius
Abb. 2 / Umfang eines Kreisrings berechnen aus Innenradius und Außenradius 

Anleitung 

Formel aufschreiben

Werte für $\boldsymbol{r_i}$ und $\boldsymbol{r_a}$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiele 

Beispiel 1 

Berechne den Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innenradius $r_i = 3\ \textrm{cm}$ und dem Außenradius $r_a = 5\ \textrm{cm}$. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

$$ u_{\textrm{Kreisring}} = 2\pi \cdot (r_i + r_a) $$

Werte für $\boldsymbol{r_i}$ und $\boldsymbol{r_a}$ einsetzen

$$ \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} = 2\pi \cdot (3\ \textrm{cm} + 5\ \textrm{cm}) $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} &= 50{,}26\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 50{,}3\ \textrm{cm} \end{align*} $$

Beispiel 2 

Berechne den Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innenradius $r_i = 6\ \textrm{m}$ und dem Außenradius $r_a = 9\ \textrm{m}$. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

$$ u_{\textrm{Kreisring}} = 2\pi \cdot (r_i + r_a) $$

Werte für $\boldsymbol{r_i}$ und $\boldsymbol{r_a}$ einsetzen

$$ \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} = 2\pi \cdot (6\ \textrm{m} + 9\ \textrm{m}) $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} &= 94{,}247\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 94{,}25\ \textrm{m} \end{align*} $$

Innendurchmesser und Außendurchmesser gegeben 

Formel 

Der Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ entspricht der Summe von innerem und äußerem Kreisumfang:

$$ \begin{align*} u_{\textrm{Kreisring}} &= u_i + u_a \\[5px] &= \pi \cdot d_i + \pi \cdot d_a &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}} \end{align*} $$

$$ u_{\textrm{Kreisring}} = \pi \cdot (d_i + d_a) $$

Umfang eines Kreisrings berechnen aus Innendurchmesser und Außendurchmesser
Abb. 3 / Umfang eines Kreisrings berechnen aus Innendurchmesser und Außendurchmesser 

Anleitung 

Formel aufschreiben

Werte für $\boldsymbol{d_i}$ und $\boldsymbol{d_a}$ einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiele 

Beispiel 3 

Berechne den Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innendurchmesser $d_i = 2\ \textrm{cm}$ und dem Außendurchmesser $d_a = 8\ \textrm{cm}$. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben

$$ u_{\textrm{Kreisring}} = \pi \cdot (d_i + d_a) $$

Werte für $\boldsymbol{d_i}$ und $\boldsymbol{d_a}$ einsetzen

$$ \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} = \pi \cdot (2\ \textrm{cm} + 8\ \textrm{cm}) $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} &= 31{,}41\ldots\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 31{,}4\ \textrm{cm} \end{align*} $$

Beispiel 4 

Berechne den Umfang eines Kreisrings $u_{\textrm{Kreisring}}$ mit dem Innendurchmesser $d_i = 19\ \textrm{m}$ und dem Außendurchmesser $d_a = 28\ \textrm{m}$. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben

$$ u_{\textrm{Kreisring}} = \pi \cdot (d_i + d_a) $$

Werte für $\boldsymbol{d_i}$ und $\boldsymbol{d_a}$ einsetzen

$$ \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} = \pi \cdot (19\ \textrm{m} + 28\ \textrm{m}) $$

Ergebnis berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{u_{\textrm{Kreisring}}} &= 147{,}654\ldots\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 147{,}65\ \textrm{m} \end{align*} $$

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