Abstand Punkt-Gerade

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Gerade. Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade gemeint.

Inhaltsverzeichnis

Anleitung 

Ebene in Normalenform aufstellen

Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Geradengleichung in umgeformte Ebenengleichung einsetzen

Parameter berechnen

Parameter in Geradengleichung einsetzen, um Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ zu berechnen

Verbindungsvektor des gegebenen Punkts $\boldsymbol{P}$ mit dem Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ berechnen

Länge des Verbindungsvektors berechnen

Die Idee hinter diesem Verfahren ist folgende:

  • Gleichung einer Hilfsebene $E$ aufstellen, die senkrecht auf $g$ steht und durch den Punkt $P$ verläuft
  • Schnittpunkt $S$ der Gerade mit der Hilfsebene berechnen
  • Abstand der Punkte $P$ und $S$ berechnen (entspricht Abstand des Punkts $P$ von $g$)

Beispiel 

Beispiel 1 

Berechne den Abstand $d$ des Punktes $P(0|5|6)$ von der Gerade

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Unter Umständen ist es sinnvoll vorher zu überprüfen, ob der Punkt auf der Gerade liegt. Der Abstand wäre dann logischer 0 und man spart sich viel Rechenarbeit!

Ebene in Normalenform aufstellen

Eine Ebene $E$ ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt, den sog. Aufpunkt $\vec{a}$, und einen Normalenvektor $\vec{n}$, der senkrecht auf der Ebene steht.

Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:

$$ E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 $$

In unserem Fall gilt

  • Normalenvektor $\vec{n}$ = Richtungsvektor der Gerade $g$
  • Aufpunkt $\vec{a}$ = Punkt $P$

$$ E\colon\; \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] = 0 $$

Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Durch Ausmultiplizieren gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.

$$ \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right] = 0 $$

$$ -4x_1 + x_2 + x_3 + (-4 \cdot (-0) + 1 \cdot (-5) + 1\cdot (-6)) = 0 $$

$$ -4x_1 + x_2 + x_3 - 11 = 0 $$

Geradengleichung in umgeformte Ebenengleichung einsetzen

$$ -4(2-4\lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 11 = 0 $$

Parameter berechnen

$$ -8 + 16\lambda + \lambda + 1 + \lambda - 11 = 0 $$

$$ -18 + 18\lambda = 0 $$

$$ 18\lambda = 18 $$

$$ \lambda = 1 $$

Parameter in Geradengleichung einsetzen, um Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ zu berechnen

Wir setzen $\lambda = 1$ in die Geradengleichung ein

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

um den Schnittpunkt $S$ der Ebene $E$ mit der Gerade $g$ zu berechnen:

$$ \begin{align*} \vec{s} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\[5px] &= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*} $$

Verbindungsvektor des gegebenen Punkts $\boldsymbol{P}$ mit dem Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ berechnen

$$ \overrightarrow{PS} = \vec{s} - \vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Länge des Verbindungsvektors berechnen

$$ |\overrightarrow{PS}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6 $$

Der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt $P$ und der Gerade $g$ beträgt 6 Längeneinheiten.

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