Abstand Punkt-Gerade

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Gerade.

Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade gemeint.

Folgende Themen werden vorausgesetzt

Abstand Punkt-Gerade mit Hilfsebene

Die Idee hinter diesem Verfahren ist folgende:

  • Gleichung einer Hilfsebene E aufstellen, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P verläuft
  • Schnittpunkt S der Geraden mit der Hilfsebene berechnen
  • Der Abstand des Punktes P von der Geraden g ist gleich der Entfernung der Punkte P und S

Vorgehensweise

  1. Ebene in Normalenform aufstellen
    \(\rightarrow\) als Normalenvektor dient der Richtungsvektor der Geraden g
    \(\rightarrow\) als Aufpunkt dient der Punkt P
  2. Normalenform in Koordinatenform umwandeln
  3. Gerade g in die umgeformte Ebenengleichung einsetzen
  4. \(\lambda\) berechnen
  5. \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen (ergibt Schnittpunkt S)
  6. Verbindungsvektor \(\vec{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen
  7. Länge des Verbindungsvektors \(|\vec{SP}|\) berechnen

Beispiel

Berechne den Abstand \(d\) des Punktes P(0|5|6) von der Geraden

\(\text{g: }\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Unter Umständen ist es sinnvoll vorher zu überprüfen, ob der Punkt auf der Geraden liegt. Der Abstand wäre dann logischer 0 und man spart sich viel Rechenarbeit!

1.) Ebene in Normalenform aufstellen

Eine Ebene E ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt (Aufpunkt) \(\vec{a}\) und einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (steht senkrecht auf der Ebene).

Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:

\(\text{E: }\quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

In unserem Fall gilt

  • Normalenvektor \(\vec{n}\) = Richtungsvektor der Geraden g
  • Aufpunkt \(\vec{a}\) = Punkt P

\(\text{E: }\quad \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] = 0\)

2.) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.

Rechnung 1

\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = -4x_1 + x_2 + x_3\)

Rechnung 2 (Bitte das negative Vorzeichen nicht vergessen!)

\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -0 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} =-4 \cdot (-0) + 1 \cdot (-5) + 1\cdot (-6) = -11\)

Zusammenfassung (= Ebenengleichung in Koordinatenform)

\(-4x_1 + x_2 + x_3 - 11 = 0\)

3.) Gerade g in umgeformte Ebenengleichung einsetzen

\(-4(2-4\lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 11 = 0\)

4.) \(\lambda\) berechnen

\(-8 + 16\lambda + \lambda + 1 + \lambda - 11 = 0\)

\(-18 + 18\lambda = 0\)

\(18\lambda = 18\)

\(\lambda = 1\)

5.) \(\lambda\) in Geradengleichung einsetzen

Wir setzen \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung ein

\(\text{g: }\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

um den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden g zu berechnen:

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

6.) Verbindungsvektor \(\vec{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen

\(\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \)

7.) Länge des Verbindungsvektors \(|\vec{SP}|\) berechnen

\(|\vec{SP}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6\)

Antwort: Der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g beträgt 6 Längeneinheiten.

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Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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