Abstand Punkt-Gerade
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Gerade.
Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade gemeint.
Folgende Themen werden vorausgesetzt
- Normalenform einer Ebene aufstellen
- Normalenform in Koordinatenform umwandeln (Skalarprodukt)
- Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
- Länge eines Vektors berechnen
Abstand Punkt-Gerade mit Hilfsebene
Die Idee hinter diesem Verfahren ist folgende:
- Gleichung einer Hilfsebene E aufstellen, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P verläuft
- Schnittpunkt S der Geraden mit der Hilfsebene berechnen
- Der Abstand des Punktes P von der Geraden g ist gleich der Entfernung der Punkte P und S
Vorgehensweise
- Ebene in Normalenform aufstellen
\(\rightarrow\) als Normalenvektor dient der Richtungsvektor der Geraden g
\(\rightarrow\) als Aufpunkt dient der Punkt P - Normalenform in Koordinatenform umwandeln
- Gerade g in die umgeformte Ebenengleichung einsetzen
- \(\lambda\) berechnen
- \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen (ergibt Schnittpunkt S)
- Verbindungsvektor \(\vec{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen
- Länge des Verbindungsvektors \(|\vec{SP}|\) berechnen
Beispiel
Berechne den Abstand \(d\) des Punktes P(0|5|6) von der Geraden
\(\text{g: }\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Unter Umständen ist es sinnvoll vorher zu überprüfen, ob der Punkt auf der Geraden liegt. Der Abstand wäre dann logischer 0 und man spart sich viel Rechenarbeit!
1.) Ebene in Normalenform aufstellen
Eine Ebene E ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt (Aufpunkt) \(\vec{a}\) und einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (steht senkrecht auf der Ebene).
Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:
\(\text{E: }\quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}]\)
In unserem Fall gilt
- Normalenvektor \(\vec{n}\) = Richtungsvektor der Geraden g
- Aufpunkt \(\vec{a}\) = Punkt P
\(\text{E: }\quad \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \)
2.) Normalenform in Koordinatenform umwandeln
Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.
Rechnung 1
\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = -4x_1 + x_2 + x_3\)
Rechnung 2 (Bitte das negative Vorzeichen nicht vergessen!)
\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -0 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} =-4 \cdot (-0) + 1 \cdot (-5) + 1\cdot (-6) = -11\)
Zusammenfassung (= Ebenengleichung in Koordinatenform)
\(-4x_1 + x_2 + x_3 - 11 = 0\)
3.) Gerade g in umgeformte Ebenengleichung einsetzen
\(-4(2-4\lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 11 = 0\)
4.) \(\lambda\) berechnen
\(-8 + 16\lambda + \lambda + 1 + \lambda - 11 = 0\)
\(-18 + 18\lambda = 0\)
\(18\lambda = 18\)
\(\lambda = 1\)
5.) \(\lambda\) in Geradengleichung einsetzen
Wir setzen \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung ein
\(\text{g: }\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
um den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden g zu berechnen:
\(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\(\vec{s} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
6.) Verbindungsvektor \(\vec{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen
\(\vec{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \)
7.) Länge des Verbindungsvektors \(|\vec{SP}|\) berechnen
\(|\vec{SP}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6\)
Antwort: Der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g beträgt 6 Längeneinheiten.
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Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.
Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Dein Andreas