Abstand Punkt-Gerade
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Gerade.
Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade gemeint.
Folgende Themen werden vorausgesetzt
- Normalenform einer Ebene aufstellen
- Normalenform in Koordinatenform umwandeln (Skalarprodukt)
- Vektor zwischen zwei Punkten berechnen
- Länge eines Vektors berechnen
Abstand Punkt-Gerade mit Hilfsebene
Die Idee hinter diesem Verfahren ist folgende:
- Gleichung einer Hilfsebene \(E\) aufstellen, die senkrecht auf \(g\) steht und durch den Punkt \(P\) verläuft
- Schnittpunkt \(S\) der Geraden mit der Hilfsebene berechnen
- Der Abstand des Punktes \(P\) von der Geraden \(g\) ist gleich der Entfernung der Punkte \(P\) und \(S\)
Vorgehensweise
- Ebene in Normalenform aufstellen
\(\rightarrow\) als Normalenvektor dient der Richtungsvektor der Geraden \(g\)
\(\rightarrow\) als Aufpunkt dient der Punkt \(P\) - Normalenform in Koordinatenform umwandeln
- Gerade \(g\) in die umgeformte Ebenengleichung einsetzen
- \(\lambda\) berechnen
- \(\lambda\) in die Geradengleichung einsetzen (ergibt Schnittpunkt \(S\))
- Verbindungsvektor \(\overrightarrow{SP}\) des Schnittpunktes \(S\) mit dem Punkt \(P\) berechnen
- Länge des Verbindungsvektors \(|\overrightarrow{SP}|\) berechnen
Beispiel
Berechne den Abstand \(d\) des Punktes \(P(0|5|6)\) von der Geraden
\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Unter Umständen ist es sinnvoll vorher zu überprüfen, ob der Punkt auf der Geraden liegt. Der Abstand wäre dann logischer 0 und man spart sich viel Rechenarbeit!
1) Ebene in Normalenform aufstellen
Eine Ebene \(E\) ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt (Aufpunkt) \(\vec{a}\) und einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (steht senkrecht auf der Ebene).
Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:
\(E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)
In unserem Fall gilt
- Normalenvektor \(\vec{n}\) = Richtungsvektor der Geraden \(g\)
- Aufpunkt \(\vec{a}\) = Punkt \(P\)
\(E\colon\; \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] = 0\)
2) Normalenform in Koordinatenform umwandeln
Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.
Rechnung 1
\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = -4x_1 + x_2 + x_3\)
Rechnung 2 (Bitte das negative Vorzeichen nicht vergessen!)
\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -0 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} =-4 \cdot (-0) + 1 \cdot (-5) + 1\cdot (-6) = -11\)
Zusammenfassung (= Ebenengleichung in Koordinatenform)
\(-4x_1 + x_2 + x_3 - 11 = 0\)
3) Gerade \(g\) in umgeformte Ebenengleichung einsetzen
\(-4(2-4\lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 11 = 0\)
4) \(\lambda\) berechnen
\(-8 + 16\lambda + \lambda + 1 + \lambda - 11 = 0\)
\(-18 + 18\lambda = 0\)
\(18\lambda = 18\)
\(\lambda = 1\)
5) \(\lambda\) in Geradengleichung einsetzen
Wir setzen \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung ein
\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
um den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit der Geraden \(g\) zu berechnen:
\(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\(\vec{s} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
6) Verbindungsvektor \(\overrightarrow{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen
\(\overrightarrow{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \)
7) Länge des Verbindungsvektors \(|\overrightarrow{SP}|\) berechnen
\(|\overrightarrow{SP}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6\)
Antwort: Der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und der Geraden \(g\) beträgt 6 Längeneinheiten.
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