Abstand Punkt-Gerade
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Gerade.
Mit Abstand
ist hier die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade gemeint.
Erforderliches Vorwissen
Anleitung
Ebene in Normalenform aufstellen
Normalenform in Koordinatenform umwandeln
Geradengleichung in umgeformte Ebenengleichung einsetzen
Parameter berechnen
Parameter in Geradengleichung einsetzen, um Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ zu berechnen
Verbindungsvektor des gegebenen Punkts $\boldsymbol{P}$ mit dem Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ berechnen
Länge des Verbindungsvektors berechnen
Die Idee hinter diesem Verfahren ist folgende:
- Gleichung einer Hilfsebene
$E$aufstellen, die senkrecht auf$g$steht und durch den Punkt$P$verläuft - Schnittpunkt
$S$der Gerade mit der Hilfsebene berechnen - Abstand der Punkte
$P$und$S$berechnen (entspricht Abstand des Punkts$P$von$g$)
Beispiel
Berechne den Abstand $d$ des Punktes $P(0|5|6)$ von der Gerade
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Unter Umständen ist es sinnvoll vorher zu überprüfen, ob der Punkt auf der Gerade liegt. Der Abstand wäre dann logischer 0 und man spart sich viel Rechenarbeit!
Ebene in Normalenform aufstellen
Eine Ebene $E$ ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt, den sog. Aufpunkt $\vec{a}$, und einen Normalenvektor $\vec{n}$, der senkrecht auf der Ebene steht.
Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:
$$ E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0 $$
In unserem Fall gilt
- Normalenvektor
$\vec{n}$= Richtungsvektor der Gerade$g$ - Aufpunkt
$\vec{a}$= Punkt$P$
$$ E\colon\; \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] = 0 $$
Normalenform in Koordinatenform umwandeln
Durch Ausmultiplizieren gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.
$$ \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
$$ -4x_1 + x_2 + x_3 + (-4 \cdot (-0) + 1 \cdot (-5) + 1\cdot (-6)) = 0 $$
$$ -4x_1 + x_2 + x_3 - 11 = 0 $$
Geradengleichung in umgeformte Ebenengleichung einsetzen
$$ -4(2-4\lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 11 = 0 $$
Parameter berechnen
$$ -8 + 16\lambda + \lambda + 1 + \lambda - 11 = 0 $$
$$ -18 + 18\lambda = 0 $$
$$ 18\lambda = 18 $$
$$ \lambda = 1 $$
Parameter in Geradengleichung einsetzen, um Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ zu berechnen
Wir setzen $\lambda = 1$ in die Geradengleichung ein
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
um den Schnittpunkt $S$ der Ebene $E$ mit der Gerade $g$ zu berechnen:
$$ \begin{align*} \vec{s} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\[5px] &= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*} $$
Verbindungsvektor des gegebenen Punkts $\boldsymbol{P}$ mit dem Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ berechnen
$$ \overrightarrow{PS} = \vec{s} - \vec{p} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} $$
Länge des Verbindungsvektors berechnen
$$ |\overrightarrow{PS}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6 $$
Der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt $P$ und der Gerade $g$ beträgt 6 Längeneinheiten.
