Abstand Punkt-Gerade

Beispiel

Berechne den Abstand \(d\) des Punktes \(P(0|5|6)\) von der Geraden

\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Unter Umständen ist es sinnvoll vorher zu überprüfen, ob der Punkt auf der Geraden liegt. Der Abstand wäre dann logischer 0 und man spart sich viel Rechenarbeit!

1) Ebene in Normalenform aufstellen

Eine Ebene \(E\) ist eindeutig bestimmt durch einen Punkt (Aufpunkt) \(\vec{a}\) und einen Normalenvektor \(\vec{n}\) (steht senkrecht auf der Ebene).

Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:

\(E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = 0\)

In unserem Fall gilt

• Normalenvektor \(\vec{n}\) = Richtungsvektor der Geraden \(g\)
• Aufpunkt \(\vec{a}\) = Punkt \(P\)

\(E\colon\; \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right] = 0\)

2) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.

Rechnung 1

\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = -4x_1 + x_2 + x_3\)

Rechnung 2 (Bitte das negative Vorzeichen nicht vergessen!)

\(\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[-\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -0 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} =-4 \cdot (-0) + 1 \cdot (-5) + 1\cdot (-6) = -11\)

Zusammenfassung (= Ebenengleichung in Koordinatenform)

\(-4x_1 + x_2 + x_3 - 11 = 0\)

3) Gerade \(g\) in umgeformte Ebenengleichung einsetzen

\(-4(2-4\lambda) + (\lambda) + (1 + \lambda) - 11 = 0\)

4) \(\lambda\) berechnen

\(-8 + 16\lambda + \lambda + 1 + \lambda - 11 = 0\)

\(-18 + 18\lambda = 0\)

\(18\lambda = 18\)

\(\lambda = 1\)

5) \(\lambda\) in Geradengleichung einsetzen

Wir setzen \(\lambda = 1\) in die Geradengleichung ein

\(g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

um den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit der Geraden \(g\) zu berechnen:

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

6) Verbindungsvektor \(\overrightarrow{SP}\) des Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen

\(\overrightarrow{SP} = \vec{p} - \vec{s} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \)

7) Länge des Verbindungsvektors \(|\overrightarrow{SP}|\) berechnen

\(|\overrightarrow{SP}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{36} = 6\)

Antwort: Der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und der Geraden \(g\) beträgt 6 Längeneinheiten.