Abstand
windschiefer Geraden

Beispiel

Berechne den Abstand \(d\) der beiden windschiefen Geraden

\(\text{g}_1:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(\text{g}_2:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

1.) Ebene in Normalenform aufstellen

Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:

\(\text{E: }\quad \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{p}]\)

In unserem Fall gilt

• Normalenvektor \(\vec{n}\) = Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden
• Aufpunkt \(\vec{p}\) = Aufpunkt von \(\text{g}_1\)

Zunächst berechnen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren...

\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 2-0 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

...danach stellen wir die Ebenengleichung in Normalenform auf:

\(\text{E: }\quad \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \right] = 0\)

2.) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.

\(\begin{align*}
\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\right]
&= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\
&= -3x_1 + 2x_2 - x_3 - 28 = 0
\end{align*}\)

3.) Normalenform in Hessesche Normalenform umwandeln

Wenn wir die Koordinatenform aus Schritt 2 durch die Länge des Normalenvektors dividieren, liegt die Ebene in Hessescher Normalenform vor.

Die Länge des Normalenvektors berechnet sich zu

\(|\vec{n}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}\)

Die Hessesche Normalenform unserer Ebenengleichung lautet entsprechend

\(\frac{1}{\sqrt{14}}[-3x_1 + 2x_2 - x_3 - 28] = 0\)

4.) Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\) in Hessesche Normalenform einsetzen

Im letzten Schritt setzen wir einen beliebigen Punkt der Geraden \(\text{g}_2\) in die Hessesche Normalenform ein. Der Einfachheit halber nehmen wir den Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\), da dieser sich einfach ablesen lässt.

Einsetzen von (-3|-3|3) in die Hessesche Normalenform

\(d =\left| \frac{1}{\sqrt{14}}[-3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-3) - 3 - 28]\right| = \left|\frac{1}{\sqrt{14}}[9 - 6 - 3 - 28]\right| =\left|\frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (-28)\right|\)

\(d \approx |-7,48| \approx 7,48\)

ergibt den Abstand der windschiefen Geraden.

Hinweis: Da ein Abstand nur positive Werte annehmen darf, müssen wir die Rechnung in Betragsstrichen durchführen.

Antwort: Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt ungefähr 7,48 Längeneinheiten.

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