Abstand
windschiefer Geraden
In diesem Kapitel wollen wir den Abstand windschiefer Geraden berechnen.
Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen zwei Geraden gemeint.
Abstand windschiefer Geraden mit Hilfsebene
Vorgehensweise
- Ebene in Normalenform aufstellen
\(\rightarrow\) der Normalenvektor entspricht dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren
\(\rightarrow\) der Aufpunkt entspricht dem Aufpunkt von \(\text{g}_1\) - Normalenform in Koordinatenform umwandeln
- Koordinatenform in Hessesche Normalenform umwandeln
- Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\) in Hessesche Normalenform einsetzen
Beispiel
Berechne den Abstand \(d\) der beiden windschiefen Geraden
\(g_1\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
\(g_2\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
1.) Ebene in Normalenform aufstellen
Die Normalenform einer Ebene lautet allgemein:
\(E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{p}] = 0\)
In unserem Fall gilt
- Normalenvektor \(\vec{n}\) = Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden
- Aufpunkt \(\vec{p}\) = Aufpunkt von \(\text{g}_1\)
Zunächst berechnen wir das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren...
\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 2-0 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)
...danach stellen wir die Ebenengleichung in Normalenform auf:
\(E\colon\; \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \right] = 0\)
2.) Normalenform in Koordinatenform umwandeln
Durch Ausmultiplizieren (Skalarprodukt) gelangen wir von der Normalenform zur Koordinatenform.
\(\begin{align*}
\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\right]
&= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \vec{x} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\
&= -3x_1 + 2x_2 - x_3 - 28 = 0
\end{align*}\)
3.) Koordinatenform in Hessesche Normalenform umwandeln
Wenn wir die Koordinatenform aus Schritt 2 durch die Länge des Normalenvektors dividieren, liegt die Ebene in Hessescher Normalenform vor.
Die Länge des Normalenvektors berechnet sich zu
\(|\vec{n}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}\)
Die Hessesche Normalenform unserer Ebenengleichung lautet entsprechend
\(\frac{1}{\sqrt{14}}[-3x_1 + 2x_2 - x_3 - 28] = 0\)
4.) Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\) in Hessesche Normalenform einsetzen
Im letzten Schritt setzen wir einen beliebigen Punkt der Geraden \(\text{g}_2\) in die Hessesche Normalenform ein. Der Einfachheit halber nehmen wir den Aufpunkt der Geraden \(\text{g}_2\), da dieser sich einfach ablesen lässt.
Einsetzen von \(({-3}|{-3}|3)\) in die Hessesche Normalenform
\(d =\left| \frac{1}{\sqrt{14}}[-3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-3) - 3 - 28]\right| = \left|\frac{1}{\sqrt{14}}[9 - 6 - 3 - 28]\right| =\left|\frac{1}{\sqrt{14}} \cdot (-28)\right|\)
\(d \approx |-7,48| \approx 7,48\)
ergibt den Abstand der windschiefen Geraden.
Hinweis: Da ein Abstand nur positive Werte annehmen darf, müssen wir die Rechnung in Betragsstrichen durchführen.
Antwort: Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt ungefähr 7,48 Längeneinheiten.
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