Abstand Punkt-Punkt

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Punkt.

Bei diesem Aufgabentypen sind stets zwei Punkte gegeben, von denen man die Entfernung bestimmen soll. Das Vorgehen ist immer dasselbe:

Vorgehensweise

  1. Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) der beiden Punkte A und B berechnen
    (siehe Artikel Vektor zwischen zwei Punkten)
  2. Länge des Vektors \(\vec{AB}\) berechnen
    (siehe Artikel Betrag eines Vektors)

Ob du den Vektor \(\vec{AB}\) oder aber den Vektor \(\vec{BA}\) berechnest, hat auf das Ergebnis keinen Einfluss. Du kannst hier also gar nichts falsch machen!

Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Punkte A (7|4|2) und B (3|7|2).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten A und B.

1.) Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) berechnen

\[\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

2.) Länge des Vektors \(\vec{AB}\) berechnen

\[\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt 5 Längeneinheiten.

Beispiel 2

Gegeben sind die beiden Punkte A (12|-5|-5) und B (8|3|-4).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten A und B.

1.) Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) berechnen

\[\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}\]

2.) Länge des Vektors \(\vec{AB}\) berechnen

\[\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt 9 Längeneinheiten.

Wenn du weißt, wie man den Vektor zwischen zwei Punkten berechnet und die Länge eines Vektors bestimmen kannst, solltest du mit der Aufgabenstellung "Abstand Punkt-Punkt" keine größeren Schwierigkeiten haben.

Mehr zum Thema Abstandsberechnung

Punkt  
Abstand Punkt-Punkt Abstand zwischen zwei Punkten
Gerade  
Abstand Punkt-Gerade Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade
Abstand Gerade-Gerade Abstand zwischen zwei Geraden
>> Abstand paralleler Geraden Abstand zweier paralleler Geraden
>> Abstand windschiefer Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden
Ebene  
Abstand Punkt-Ebene Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene
Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

PS: Ich freue mich auf deine Nachricht!