Abstand Punkt-Punkt

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Punkt.

Bei diesem Aufgabentypen sind stets zwei Punkte gegeben, von denen man die Entfernung bestimmen soll. Das Vorgehen ist immer dasselbe:

Vorgehensweise

  1. Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) der beiden Punkte A und B berechnen
    (siehe Artikel Vektor zwischen zwei Punkten)
  2. Länge des Vektors \(\vec{AB}\) berechnen
    (siehe Artikel Betrag eines Vektors)

Ob du den Vektor \(\vec{AB}\) oder aber den Vektor \(\vec{BA}\) berechnest, hat auf das Ergebnis keinen Einfluss. Du kannst hier also gar nichts falsch machen!

Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Punkte A (7|4|2) und B (3|7|2).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten A und B.

1.) Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) berechnen

\[\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

2.) Länge des Vektors \(\vec{AB}\) berechnen

\[\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt 5 Längeneinheiten.

Beispiel 2

Gegeben sind die beiden Punkte A (12|-5|-5) und B (8|3|-4).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten A und B.

1.) Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) berechnen

\[\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}\]

2.) Länge des Vektors \(\vec{AB}\) berechnen

\[\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten A und B beträgt 9 Längeneinheiten.

Wenn du weißt, wie man den Vektor zwischen zwei Punkten berechnet und die Länge eines Vektors bestimmen kannst, solltest du mit der Aufgabenstellung "Abstand Punkt-Punkt" keine größeren Schwierigkeiten haben.

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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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