Abstand Punkt-Punkt

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Punkt.

Bei diesem Aufgabentyp sind stets zwei Punkte gegeben, von denen man die Entfernung bestimmen soll. Das Vorgehen ist immer dasselbe:

Vorgehensweise

  1. Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) der beiden Punkte \(A\) und \(B\) berechnen
    (siehe Artikel Vektor zwischen zwei Punkten)
  2. Länge des Vektors \(\overrightarrow{AB}\) berechnen
    (siehe Artikel Betrag eines Vektors)

Ob du den Vektor \(\overrightarrow{AB}\) oder aber den Vektor \(\overrightarrow{BA}\) berechnest, hat auf das Ergebnis keinen Einfluss. Du kannst hier also gar nichts falsch machen!

Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Punkte \(A(7|4|2)\) und \(B(3|7|2)\).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\).

1) Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) berechnen

\[\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]

2) Länge des Vektors \(\overrightarrow{AB}\) berechnen

\[\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9 + 0} = \sqrt{25} = 5\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) beträgt 5 Längeneinheiten.

Beispiel 2

Gegeben sind die beiden Punkte \(A(12|{-5}|{-5})\) und \(B(8|3|{-4})\).

Berechne den Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\).

1) Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) berechnen

\[\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}\]

2) Länge des Vektors \(\overrightarrow{AB}\) berechnen

\[\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9\]

Antwort: Der Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) beträgt 9 Längeneinheiten.

Wenn du weißt, wie man den Vektor zwischen zwei Punkten berechnet und die Länge eines Vektors bestimmen kannst, solltest du mit der Aufgabenstellung "Abstand Punkt-Punkt" keine größeren Schwierigkeiten haben.

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Andreas Schneider

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