Abstand Punkt-Ebene

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Ebene.

Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Ebene gemeint.

Voraussetzung für das in diesem Artikel vorgestellte Verfahren ist, dass die Ebenengleichung in der Hesseschen Normalform (HNF) vorliegt. Du solltest also bereits wissen, wie man die Parameterform in Koordinatenform und die Koordinatenform in die Hessesche Normalform umwandelt. Auf diese Weise kannst du von jeder Ebene den Abstand zu einem Punkt berechnen, unabhängig davon, ob die Ebene in Parameterform oder in Koordinatenform vorliegt.

Vorgehensweise

  1. Parameterform in Koordinatenform umwandeln
  2. Koordinatenform in Hessesche Normalform umwandeln
  3. Punkt \(P\) in die Hessesche Normalform einsetzen

Hinweis
Liegt die Ebene bereits in Koordinatenform vor, entfällt Schritt 1.
Liegt die Ebene bereits in der Hesseschen Normalform vor, entfällt Schritt 2.

Im Folgenden schauen wir uns anhand einer Ebenengleichung in Koordinatenform an, wie man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnet.

Beispiel

Berechne den Abstand \(d\) des Punktes \(P(2|1|2)\) von der Ebene

\(E\colon\; 2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5 = 0\)

1.) Koordinatenform in Hessesche Normalform umwandeln

Zur Berechnung der Hesseschen Normalform müssen wir die Länge des Normalenvektors \(\vec{n}\) berechnen.

Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\). Sie lassen also sich aus der gegebenen Ebenengleichung einfach ablesen.

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Länge des Normalenvektors

\(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\)

Ebene in Hessescher Normalform

\(E\colon\; \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0\)

2.) Punkt P in die Hessesche Normalform einsetzen

\(d = |\frac{1}{3} \cdot [2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 2 - 5]| = |\frac{1}{3} \cdot (-6)| = |-2| = 2\)

Der Abstand des Punktes \(P\) von der Ebene \(E\) beträgt 2 Längeneinheiten.

Hinweis: Da ein Abstand nie negativ sein kann, muss man Betragsstriche setzen.

Wir haben gerlernt, wie man den Abstand Punkt-Ebene mit Hilfe der Hesseschen Normalform bestimmt. Das war doch gar nicht so schwer, oder? Nach dem selbständigen Lösen einiger Aufgaben sollte dir dieses Thema keine Schwierigkeiten mehr bereiten.

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Andreas Schneider

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