Abstand Punkt-Ebene

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Ebene. Mit Abstand ist hier die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Ebene gemeint.

Inhaltsverzeichnis

Anleitung 

Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Koordinatenform in Hessesche Normalform umwandeln

Punkt in Hessesche Normalform einsetzen

Anmerkung

Schritt 1 entfällt, wenn die Ebene bereits in Koordinatenform vorliegt.

Schritt 2 entfällt, wenn die Ebene bereits in der Hesseschen Normalform vorliegt.

Beispiel 

Beispiel 1 

Berechne den Abstand $d$ des Punktes $P(2|1|2)$ von der Ebene

$$ E\colon\; 2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5 = 0 $$

Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Da die Ebene bereits in Koordinatenform vorliegt, entfällt dieser Schritt hier.

Koordinatenform in Hessesche Normalform umwandeln

Normalenvektor aus Koordinatenform herauslesen

Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Sie lassen also sich aus der gegebenen Ebenengleichung einfach ablesen.

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Länge des Normalenvektors berechnen

$$ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 $$

Ebene in Hessescher Normalform aufstellen

$$ E\colon\; \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0 $$

Punkt in Hessesche Normalform einsetzen

$$ d = \left|\frac{1}{3} \cdot [2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 2 - 5]\right| = \left|\frac{1}{3} \cdot (-6)\right| = |-2| = 2 $$

Der Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$ beträgt 2 Längeneinheiten.

Hinweis: Da ein Abstand nie negativ sein kann, muss man Betragsstriche setzen.

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