Abstand Punkt-Ebene
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Abstand Punkt-Ebene.
Mit Abstand
ist hier die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Ebene gemeint.
Erforderliches Vorwissen
Anleitung
Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Koordinatenform in Hessesche Normalform umwandeln
Punkt in Hessesche Normalform einsetzen
Anmerkung
Schritt 1 entfällt, wenn die Ebene bereits in Koordinatenform vorliegt.
Schritt 2 entfällt, wenn die Ebene bereits in der Hesseschen Normalform vorliegt.
Beispiel
Berechne den Abstand $d$ des Punktes $P(2|1|2)$ von der Ebene
$$ E\colon\; 2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5 = 0 $$
Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Da die Ebene bereits in Koordinatenform vorliegt, entfällt dieser Schritt hier.
Koordinatenform in Hessesche Normalform umwandeln
Normalenvektor aus Koordinatenform herauslesen
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$, $x_2$ und $x_3$. Sie lassen also sich aus der gegebenen Ebenengleichung einfach ablesen.
$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} $$
Länge des Normalenvektors berechnen
$$ |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 $$
Ebene in Hessescher Normalform aufstellen
$$ E\colon\; \frac{1}{3} \cdot [2x_1 - x_2 - 2x_3 - 5] = 0 $$
Punkt in Hessesche Normalform einsetzen
$$ d = \left|\frac{1}{3} \cdot [2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 2 - 5]\right| = \left|\frac{1}{3} \cdot (-6)\right| = |-2| = 2 $$
Der Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$ beträgt 2 Längeneinheiten.
Hinweis: Da ein Abstand nie negativ sein kann, muss man Betragsstriche setzen.
