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Skalarprodukt

Am Ende dieses Artikels findest du meinen Online-Rechner zum Berechnen des Skalarprodukts. Zunächst wiederholen wir alles, was du zum Skalarprodukt wissen musst.

Hauptartikel: Skalarprodukt

Wiederholung: Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zu.

Formel zur Berechnung des Skalarprodukts

(1) \(\quad \vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\)

(2) \(\quad \vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\)

Anmerkungen

Statt \(\vec{a} \circ \vec{b}\) können wir für das Skalarprodukt zweier Vektoren auch \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) schreiben.

\(a_1\), \(a_2\) und \(a_3\) sind die Koordinaten des Vektors \(\vec{a}\).
\(b_1\), \(b_2\) und \(b_3\) sind die Koordinaten des Vektors \(\vec{b}\).

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{a}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Koordinaten der Vektoren in die Formel einsetzen

\(\begin{align*}
\vec{a} \circ \vec{b}
& = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\\
& = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 5 = 6 - 20 = -14
\end{align*}\)

Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist \(-14\).

Online-Rechner: Skalarprodukt

Im Folgenden erkläre ich dir kurz, wie der Rechner funktioniert. Mach dir keine Sorgen:
Du musst weder Mathe- noch Technik-Freak sein, um mit dem Teil zurechtzukommen ;)

Eingabe

Eingabefeld 1: Vektor 1
Eingabefeld 2: Vektor 2

Koordinaten werden durch Kommas voneinander getrennt.
Beispiel: (3,-4) (Bedeutung: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\))

Dezimalzahlen werden mit Punkt als Trennzeichen eingegeben.
Beispiel: (1,1.5,2) (Bedeutung: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1{,}5 \\ 2 \end{pmatrix}\))

Bruchzahlen werden mit Schrägstrich eingeben.
Beispiel: (-1/3,3) (Bedeutung: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 3 \end{pmatrix}\))

Ausgabe

eine Zahl, nämlich das Skalarprodukt der Vektoren

Beispiel

Gesucht ist das Skalarprodukt von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 2 \end{pmatrix}\).

Um das Beispiel zu berechnen, kannst du einfach auf „Skalarprodukt berechnen“ klicken!
(Ich habe die Werte aus der Aufgabe für dich bereits in den Rechner eingegeben.)

Andreas Schneider

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Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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