Skalarprodukt
Am Ende dieses Artikels findest du meinen Online-Rechner zum Berechnen des Skalarprodukts. Zunächst wiederholen wir alles, was du zum Skalarprodukt wissen musst.
Hauptartikel: Skalarprodukt
Wiederholung: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zu.
Formel zur Berechnung des Skalarprodukts
(1) \(\quad \vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\)
(2) \(\quad \vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\)
Anmerkungen
Statt \(\vec{a} \circ \vec{b}\) können wir für das Skalarprodukt zweier Vektoren auch \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) schreiben.
\(a_1\), \(a_2\) und \(a_3\) sind die Koordinaten des Vektors \(\vec{a}\).
\(b_1\), \(b_2\) und \(b_3\) sind die Koordinaten des Vektors \(\vec{b}\).
Beispiel
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{a}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\).
Koordinaten der Vektoren in die Formel einsetzen
\(\begin{align*}
\vec{a} \circ \vec{b}
& = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\\
& = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 5 = 6 - 20 = -14
\end{align*}\)
Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist \(-14\).
Online-Rechner: Skalarprodukt
Im Folgenden erkläre ich dir kurz, wie der Rechner funktioniert. Mach dir keine Sorgen:
Du musst weder Mathe- noch Technik-Freak sein, um mit dem Teil zurechtzukommen ;)
Eingabe
Eingabefeld 1: Vektor 1
Eingabefeld 2: Vektor 2
Koordinaten werden durch Kommas voneinander getrennt.
Beispiel: (3,-4) (Bedeutung: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\))
Dezimalzahlen werden mit Punkt als Trennzeichen eingegeben.
Beispiel: (1,1.5,2) (Bedeutung: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1{,}5 \\ 2 \end{pmatrix}\))
Bruchzahlen werden mit Schrägstrich eingeben.
Beispiel: (-1/3,3) (Bedeutung: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 3 \end{pmatrix}\))
Ausgabe
eine Zahl, nämlich das Skalarprodukt der Vektoren
Beispiel
Gesucht ist das Skalarprodukt von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 2 \end{pmatrix}\).
Um das Beispiel zu berechnen, kannst du einfach auf „Skalarprodukt berechnen“ klicken!
(Ich habe die Werte aus der Aufgabe für dich bereits in den Rechner eingegeben.)
Die Online-Rechner-Sektion ist ganz neu auf meiner Seite. Über Feedback würde ich mich sehr freuen, damit ich weiß, ob ich mehr Rechner erstellen soll.
Weiterhin viel Erfolg beim Rechnen!
Dein Andreas