Skalarprodukt

Am Ende dieses Artikels findest du meinen Online-Rechner zum Berechnen des Skalarprodukts. Zunächst wiederholen wir alles, was du zum Skalarprodukt wissen musst.

Hauptartikel: Skalarprodukt

Wiederholung: Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zu.

Formel zur Berechnung des Skalarprodukts

(1) \(\quad \vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\)

(2) \(\quad \vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\)

Anmerkungen

Statt \(\vec{a} \circ \vec{b}\) können wir für das Skalarprodukt zweier Vektoren auch \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) schreiben.

\(a_1\), \(a_2\) und \(a_3\) sind die Koordinaten des Vektors \(\vec{a}\).
\(b_1\), \(b_2\) und \(b_3\) sind die Koordinaten des Vektors \(\vec{b}\).

Beispiel

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{a}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Koordinaten der Vektoren in die Formel einsetzen

\(\begin{align*}
\vec{a} \circ \vec{b}
& = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\\
& = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + (-4) \cdot 5 = 6 - 20 = -14
\end{align*}\)

Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist \(-14\).

Online-Rechner: Skalarprodukt

Im Folgenden erkläre ich dir kurz, wie der Rechner funktioniert. Mach dir keine Sorgen:
Du musst weder Mathe- noch Technik-Freak sein, um mit dem Teil zurechtzukommen ;)

Eingabe

Eingabefeld 1: Vektor 1
Eingabefeld 2: Vektor 2

Koordinaten werden durch Kommas voneinander getrennt.
Beispiel: (3,-4) (Bedeutung: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\))

Dezimalzahlen werden mit Punkt als Trennzeichen eingegeben.
Beispiel: (1,1.5,2) (Bedeutung: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1{,}5 \\ 2 \end{pmatrix}\))

Bruchzahlen werden mit Schrägstrich eingeben.
Beispiel: (-1/3,3) (Bedeutung: \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 3 \end{pmatrix}\))

Ausgabe

eine Zahl, nämlich das Skalarprodukt der Vektoren

Beispiel

Gesucht ist das Skalarprodukt von \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 2 \end{pmatrix}\).

Um das Beispiel zu berechnen, kannst du einfach auf „Skalarprodukt berechnen“ klicken!
(Ich habe die Werte aus der Aufgabe für dich bereits in den Rechner eingegeben.)

Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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