Parameterform
Die Parameterform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung in der analytischen Geometrie.
Parameterform einer Gerade
$$ g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} $$
Bedeutung
$g$: Bezeichnung der Gerade$\vec{x}$: Punkt der Gerade$\vec{a}$: Aufpunkt (oder: Stützvektor)$\lambda$: Parameter (Lambda
)$\vec{u}$: Richtungsvektor
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Punkt auf einer Gerade
Jeder Punkt einer Gerade wird in Abhängigkeit des Parameters $\lambda$ beschrieben.
Gegeben sei die Gerade
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Gesucht sind drei verschiedene Punkte auf dieser Gerade.
Dazu setzen wir beliebige Werte für $\lambda$ ein.
$$ \boldsymbol{\lambda = 0} $$
Bei $\lambda = 0$ handelt es sich um einen Spezialfall, denn der Aufpunkt liegt immer auf der Gerade!
$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \boldsymbol{\lambda = 1} $$
$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} $$
$$ \boldsymbol{\lambda = 2} $$
$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \\ 11 \end{pmatrix} $$
Aufgabentypen
Geradengleichung in Parameterform aufstellen
Parameterform einer Ebene
$$ E\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} $$
Bedeutung
$E$: Bezeichnung der Ebene$\vec{x}$: Punkt der Ebene$\vec{a}$: Aufpunkt (oder: Stützvektor)$\lambda$: Parameter (Lambda
)$\vec{u}$: Richtungsvektor$\mu$: Parameter (My
)$\vec{v}$: Richtungsvektor
$$ E\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} $$
Punkt auf einer Ebene
Jeder Punkt einer Ebene wird in Abhängigkeit der Parameter $\lambda$ und $\mu$ beschrieben.
(vgl. Abschnitt Punkt auf einer Gerade
)
Parameterform umformen
| Parameterform gegeben | Parameterform gesucht |
|---|---|
| Parameterform in Koordinatenform | Koordinatenform in Parameterform |
| Parameterform in Normalenform | Normalenform in Parameterform |
