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Parameterform

Die Parameterform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung in der analytischen Geometrie.

Parameterform einer Gerade 

$$ g\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} $$

Bedeutung

  • $g$: Bezeichnung der Gerade
  • $\vec{x}$: Punkt der Gerade
  • $\vec{a}$: Aufpunkt (oder: Stützvektor)
  • $\lambda$: Parameter (Lambda)
  • $\vec{u}$: Richtungsvektor

Beispiel 1 

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Punkt auf einer Gerade

Jeder Punkt einer Gerade wird in Abhängigkeit des Parameters $\lambda$ beschrieben.

Beispiel 2 

Gegeben sei die Gerade

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Gesucht sind drei verschiedene Punkte auf dieser Gerade. Dazu setzen wir beliebige Werte für $\lambda$ ein.

$$ \boldsymbol{\lambda = 0} $$

Bei $\lambda = 0$ handelt es sich um einen Spezialfall, denn der Aufpunkt liegt immer auf der Gerade!

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ \boldsymbol{\lambda = 1} $$

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} $$

$$ \boldsymbol{\lambda = 2} $$

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 15 \\ 11 \end{pmatrix} $$

Aufgabentypen

Geradengleichung in Parameterform aufstellen

Parameterform einer Ebene 

$$ E\colon\; \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{v} $$

Bedeutung

  • $E$: Bezeichnung der Ebene
  • $\vec{x}$: Punkt der Ebene
  • $\vec{a}$: Aufpunkt (oder: Stützvektor)
  • $\lambda$: Parameter (Lambda)
  • $\vec{u}$: Richtungsvektor
  • $\mu$: Parameter (My)
  • $\vec{v}$: Richtungsvektor

Beispiel 3 

$$ E\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} $$

Punkt auf einer Ebene

Jeder Punkt einer Ebene wird in Abhängigkeit der Parameter $\lambda$ und $\mu$ beschrieben. (vgl. Abschnitt Punkt auf einer Gerade)

Parameterform umformen 

Parameterform gegebenParameterform gesucht
Parameterform in KoordinatenformKoordinatenform in Parameterform
Parameterform in NormalenformNormalenform in Parameterform

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