Parameterform in Normalenform
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Parameterform in Normalenform umwandelt.
Einordnung
Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:
| Schwierigkeit | Zwischenform | |
|---|---|---|
| Parameterform in Normalenform | einfach | — |
| Normalenform in Koordinatenform | einfach | — |
| Parameterform in Koordinatenform | mittel | Normalenform |
| Koordinatenform in Parameterform | mittel | — |
| Normalenform in Parameterform | schwer | Koordinatenform |
| Koordinatenform in Normalenform | einfach | — |
Geradengleichung umwandeln
Eine Geradengleichung kann nur im $\mathbb{R}^2$ in die Normalenform umgewandelt werden, weil es im $\mathbb{R}^3$ keinen eindeutigen Normalenvektor gibt.
Anleitung
Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
Eine der beiden Gleichungen nach $\lambda$ auflösen und in die andere einsetzen
Koordinatenform in Normalenform umwandeln
Normalenvektor $\vec{n}$ ablesen
Beliebigen Aufpunkt $\vec{a}$ berechnen
$\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die Normalenform einsetzen
Beispiel
Gegeben ist eine Gerade in Parameterform
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{pmatrix} $$
Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
$$ \begin{array}{ccccc} x_1&=&0&+&1\cdot \lambda&\\ x_2&=&\frac{5}{3}&+&(-\frac{4}{3})\cdot \lambda&\\ \end{array} $$
Eine der beiden Gleichungen nach $\lambda$ auflösen und in die andere einsetzen
Wir lösen die erste Gleichung nach $\lambda$ auf
$$ \lambda = x_1 $$
Jetzt setzen wir das Ergebnis in die zweite Gleichung für $\lambda$ ein
$$ x_2 = \frac{5}{3}+(-\frac{4}{3})\cdot x_1 $$
$$ x_2 = \frac{5}{3} - \frac{4}{3}x_1 $$
Unser Ergebnis lässt sich noch verschönern
, wenn man die Gleichung mit 3 multipliziert, um die Brüche zu beseitigen
$$ 3x_2 = 5 - 4x_1 $$
und anschließend alles auf die linke Seite bringt
$$ 4x_1 + 3x_2 - 5 = 0 $$
Koordinatenform in Normalenform umwandeln
Normalenvektor $\vec{n}$ ablesen
Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten von $x_1$ und $x_2$ in der Koordinatenform. Folglich gilt:
$$ {\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix} $$
Beliebigen Aufpunkt $\vec{a}$ berechnen
Als Aufpunkt können wir jeden beliebigen Punkt auf der Gerade verwenden.
Punkte, die auf der Gerade liegen, haben die Eigenschaft,
dass sie die Koordinatengleichung $4x_1 + 3x_2 - 5 = 0$ erfüllen.
Wenn wir z. B. für $x_2$ gleich $1$ einsetzen
$$ 4x_1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0 $$
$$ 4x_1 + 3 - 5 = 0 $$
$$ 4x_1 - 2 = 0 $$
und die Gleichung anschließend nach $x_1$ auflösen, erhalten wir
$$ 4x_1 - 2 = 0 \quad |+2 $$
$$ 4x_1 = 2 \quad |:4 $$
$$ x_1 = 0{,}5 $$
Der Punkt $(0{,}5|1)$ liegt folglich auf der Gerade. Diesen können wir als Aufpunkt hernehmen:
$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die Normalenform einsetzen
$$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Ebenengleichung umwandeln
Anleitung
Normalenvektor berechnen
Aufpunkt $\boldsymbol{\vec{a}}$ auswählen
$\boldsymbol{\vec{n}}$ und $\boldsymbol{\vec{a}}$ in Normalenform einsetzen
Beispiel
Gegeben ist eine Ebene in Parameterform
$$ E\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix} $$
Normalenvektor berechnen
Der Normalenvektor $\vec{n}$ entspricht dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-\frac{3}{2}) - (-2) \cdot 1 \\ -2 \cdot 0 - 1 \cdot (-\frac{3}{2}) \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Aufpunkt $\boldsymbol{\vec{a}}$ auswählen
Als Aufpunkt der Normalenform übernehmen wir einfach den Aufpunkt der Parameterform.
$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix} $$
$\boldsymbol{\vec{n}}$ und $\boldsymbol{\vec{a}}$ in Normalenform einsetzen
$$ E\colon\; \vec{n} \circ [\vec{x} - \vec{a}] = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix}\right] = 0 $$
