Schnittpunkt zweier Geraden
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man den Schnittpunkt zweier Geraden in der analytischen Geometrie berechnet. Dabei sind die Geraden in Parameterform gegeben. Zur Erinnerung: In der Analysis haben wir bereits den Schnittpunkt zweier Geraden mithilfe linearer Funktionen berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Im dreidimensionalen Raum gibt es für zwei Geraden vier mögliche Lagen:
Wenn sich zwei Geraden schneiden, kann man einen Schnittpunkt und einen Schnittwinkel berechnen.
Anleitung
Einen der Parameter berechnen
Berechneten Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzen
Beispiel
Gegeben sind die beiden sich schneidenden Geraden
$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ h\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Berechne den Schnittpunkt der Geraden.
Einen der Parameter berechnen
$$ \lambda = 3 $$
Berechneten Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzen
Einsetzen von $\lambda = 3$ in $g$ führt zu
$$ \begin{align*} \vec{s} &= \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\[5px] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*} $$
Der Schnittpunkt $S$ hat die Koordinaten $(3|2|2)$.
Anmerkung
Alternativ könnte man $\mu = 1$ in $h$ einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunkts zu berechnen.
