Pi

Wenn wir den Umfang oder den Flächeninhalt eines Kreises berechnen wollen, brauchen wir die Kreiszahl $\boldsymbol{\pi}$ (gesprochen: Pi). In diesem Kapitel schauen wir uns an, was sich hinter diesem, auf den ersten Blick oft geheimnisvoll wirkenden, griechischen Kleinbuchstaben verbirgt.

Definition der Kreiszahl $\pi$ als Verhältnis 

Auf die Kreiszahl $\pi$ stoßen wir, wenn wir Verhältnisse am Kreis untersuchen.

Verhältnis von Umfang zu Durchmesser 

Wenn wir mit einem Maßband an verschiedenen kreisförmigen Gegenständen den Umfang $u$ und den Durchmesser $d$ messen, können wir feststellen, dass der Quotient (Fachbegriff: das Verhältnis) $u:d$ einen fast identischen Wert annimmt.

$$ \begin{array}{l|rrc} \text{Gegenstand} & \text{Umfang } u & \text{Durchmesser } d & u:d\\ \hline \text{1-Euro-Münze} & 7{,}2\ \textrm{cm} & 2{,}3\ \textrm{cm} & \approx 3{,}1304 \\ \text{Teller} & 82\ \textrm{cm} & 26\ \textrm{cm} & \approx 3{,}1538 \\ \text{Fahrradreifen} & 185\ \textrm{cm} & 59\ \textrm{cm} & \approx 3{,}1356 \end{array} $$

Wäre eine Messung ohne Messfehler möglich, würde $u:d$ immer denselben Wert annehmen. Deshalb gilt: Das Verhältnis aus dem Umfang $u$ und dem Durchmesser $d$ eines Kreises ist eine mathematische Konstante. Bereits seit Jahrhunderten wird diese Konstante mit $\pi$ bezeichnet. Merke: $\pi \approx 3{,}14$.

Dass das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser bei allen Kreisen gleich ist, überrascht Mathematiker nicht. Sie wissen, dass alle Kreise zueinander ähnlich sind (Stichwort: Zentrische Streckung) und in ähnlichen Figuren gleich liegende Stücke im gleichen Verhältnis stehen.

Frage

Wie oft passt der Durchmesser in den Umfang?

Antwort

$\pi$-mal!

Wir merken uns:

Übersetzung

Das Verhältnis aus dem Umfang $u$ und dem Durchmesser $d$ ist bei allen Kreisen gleich $\pi$.

Anwendung

Umfang aus dem Durchmesser berechnen

Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt 

Zwischen dem Flächeninhalt eines Kreises und seinem Radius besteht ein ähnliches Verhältnis wie zwischen Umfang und Durchmesser. Das Messen von Alltagsgegenständen hilft uns hier aber nicht weiter, weil sich der Flächeninhalt kreisförmiger Gegenstände nur sehr grob messen lässt. Die Untersuchung des Zusammenhangs von Umfang und Flächeninhalt führt uns auf die richtige Spur:

Gegeben sei ein beliebiger Kreis.

Wir teilen den Kreis in 12 gleich große Kuchenstücke (Kreisausschnitte).

Die Kuchenstücke des oberen Halbkreises malen wir orange an, die des unteren Halbkreises blau.

Eines der blauen Kuchenstücke teilen wir in zwei Hälften. Wir haben nun insgesamt 13 Kuchenstücke.

Als Nächstes klappen wir den oberen Halbkreis auf, so dass die Kreislinie möglichst gerade ist.

Zu guter Letzt klappen wir den unteren Halbkreis auf und stecken ihn in den aufgeklappten oberen Halbkreis.

Die entstandene Figur erinnert uns an ein Rechteck. Dass es in der Tat möglich ist, Kreise durch Rechtecke anzunähern, erfahren wir im letzten Abschnitt dieses Kapitels.

Der Kreis mit dem Umfang $u$ und dem Radius $r$ ist genauso groß wie das Rechteck mit der Länge $\frac{1}{2} \cdot u$ und der Breite $r$ und weil sich der Flächeninhalt eines Rechtecks bekanntermaßen nach der Formel Länge $\cdot$ Breite berechnet, gilt für den Flächeninhalt des Kreises:

$$ \begin{align*} A &= \tfrac{1}{2} \cdot u \cdot r &&{\color{gray}|\; u = \pi \cdot d} \\[5px] &= \tfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot d \cdot r &&{\color{gray}|\; d = 2 \cdot r} \\[5px] &= \tfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2 \cdot r \cdot r \\[5px] &= \pi \cdot r^2 \end{align*} $$

Wenn wir $A = \pi \cdot r^2$ nach $\pi$ umstellen, erhalten wir das Verhältnis $\frac{A}{r^2} = \pi$.

Verhältnis von Flächeninhalt zu Radiusquadrat 

Das Verhältnis $\frac{A}{r^2} = \pi$ lässt sich ebenso veranschaulichen wie $\frac{u}{d} = \pi$.

Frage

Wie oft passt ein Quadrat mit dem Radius $r$ als Seitenlänge in den Kreis?

Antwort

$\pi$-mal!

Dass dieses Verhältnis für alle Kreise gilt, können wir wieder mithilfe der zentrischen Streckung zeigen. Zur Erinnerung: In ähnlichen Figuren stehen gleich liegende Stücke im gleichen Verhältnis.

Wir merken uns:

Übersetzung

Das Verhältnis aus dem Flächeninhalt $A$ des Kreises und dem Flächeninhalt des Radiusquadrats $r^2$ ist bei allen Kreisen gleich $\pi$.

Anwendung

Flächeninhalt aus dem Radius berechnen

$\pi$ berechnen 

Wie wir bereits gesehen haben, sind Messungen zu ungenau, um den Wert von $\pi$ zu bestimmen. Dieses Problem erkannte bereits Archimedes, der als Erster ein systematisches Verfahren zur Berechnung von $\pi$ entwickelte: Er näherte den Kreis durch ein- und umbeschriebene Vielecke an (Näherungsverfahren 2).

Inzwischen gibt es eine Vielzahl weiterer Verfahren, von denen zwei im Folgenden kurz skizziert werden sollen: Das am einfachsten verständlichste, aber ungenauste Verfahren basiert auf dem Abzählen von Quadraten eines Quadratgitters (Näherungsverfahren 1). Darüber hinaus gibt es noch die Möglichkeit, den Kreis durch Rechtecke anzunähern (Näherungsverfahren 3).

Näherungsverfahren 1 

Grundlage

Quadrate eines Quadratgitters

Untere Grenze

Der Kreisfläche ist größer als alle Quadrate, die vollständig im Inneren der Kreisfläche liegen.

Obere Grenze

Die Kreisfläche ist kleiner als alle Quadrate, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.

Verbesserung des Näherungswerts

Wahl einer kleineren Seitenlänge für die Quadrate des Quadratgitters

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Kreiszahl $\pi$ berechnen (Teil 1)

Näherungsverfahren 2 

Grundlage

Ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke

Untere Grenze

Die Kreisfläche ist größer als das einbeschriebene Vieleck.

Obere Grenze

Die Kreisfläche ist kleiner als das umbeschriebene Vieleck.

Verbesserung des Näherungswerts

Wahl eines Vielecks mit mehr Ecken

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Kreiszahl $\pi$ berechnen (Teil 2)

Näherungsverfahren 3 

Grundlage

Rechtecke mit gleicher Breite

Untere Grenze

Die Kreisfläche ist größer als alle Rechtecke mit gleicher Breite, die im Inneren der Kreisfläche liegen.

Obere Grenze

Die Kreisfläche ist kleiner als alle Rechtecke mit gleicher Breite, in denen Punkte der Kreisfläche liegen.

Verbesserung des Näherungswerts

Wahl einer kleineren Breite für die Rechtecke

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Kreiszahl $\pi$ berechnen (Teil 3)

$\pi$ ist eine irrationale Zahl! 

Die Näherungswerte, die wir mit den oben beschriebenen Verfahren, erhalten, lassen sich unendlich oft verbessern. Für die Kreiszahl $\pi$ gilt deshalb: