Über 80 € Preisvorteil gegenüber Einzelkauf!
Mathe-eBooks im Sparpaket
Von Schülern, Studenten, Eltern und
Lehrern mit 4,86/5 Sternen bewertet.
47 PDF-Dateien mit über 5000 Seiten
inkl. 1 Jahr Updates für nur 29,99 €.
Ab dem 2. Jahr nur 14,99 €/Jahr.
Kündigung jederzeit mit wenigen Klicks.
Jetzt Mathebibel herunterladen

Spurpunkte

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Spurpunkten.

Definition 

Der Schnittpunkt einer Gerade mit einer Koordinatenebene heißt Spurpunkt.

  • $S_1$ ist der Schnittpunkt einer Gerade mit der $x_2x_3$-Ebene
  • $S_2$ ist der Schnittpunkt einer Gerade mit der $x_1x_3$-Ebene
  • $S_3$ ist der Schnittpunkt einer Gerade mit der $x_1x_2$-Ebene

Anleitung 

Die Berechnung des Spurpunktes $S_i$ läuft folgendermaßen ab:

$\boldsymbol{i}$-te Koordinate der Geradengleichung gleich Null setzen und den dazugehörigen Parameter $\boldsymbol{\lambda}$ berechnen

$\boldsymbol{\lambda}$ in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Spurpunktes zu erhalten

Beispiele 

Beispiel 1 

Gegeben ist die Gerade

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Berechne den Spurpunkt $S_1$.

Der Spurpunkt $S_1$ ist der Schnittpunkt der Gerade mit der $x_2x_3$-Ebene.

Die $x_1$-Koordinate von $S_1$ ist gleich Null: $S_1(0|?|?)$.

$\boldsymbol{x_1 = 0}$ in die erste Zeile der Geradengleichung einsetzen, um $\boldsymbol{\lambda}$ zu berechnen

$$ 1 + \lambda = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = -1 $$

$\boldsymbol{\lambda}$ in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen

$$ g\colon\; \vec{s_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Der Spurpunkt $S_1$ hat die Koordinaten $(0|{-6}|5)$.

Beispiel 2 

Gegeben ist die Gerade

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Berechne den Spurpunkt $S_2$.

Der Spurpunkt $S_2$ ist der Schnittpunkt der Gerade mit der $x_1x_3$-Ebene.

Die $x_2$-Koordinate von $S_2$ ist gleich Null: $S_2(?|0|?)$.

$\boldsymbol{x_2 = 0}$ in die zweite Zeile der Geradengleichung einsetzen, um $\boldsymbol{\lambda}$ zu berechnen

$$ -4 + 2\lambda = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = 2 $$

$\boldsymbol{\lambda}$ in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen

$$ g\colon\; \vec{s_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Der Spurpunkt $S_2$ hat die Koordinaten $(3|0|2)$.

Beispiel 3 

Gegeben ist die Gerade

$$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Berechne den Spurpunkt $S_3$.

Der Spurpunkt $S_3$ ist der Schnittpunkt der Gerade mit der $x_1x_2$-Ebene.

Die $x_3$-Koordinate von $S_3$ ist gleich Null: $S_3(?|?|0)$.

$\boldsymbol{x_3 = 0}$ in die dritte Zeile der Geradengleichung einsetzen, um $\boldsymbol{\lambda}$ zu berechnen

$$ 4 - \lambda = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = 4 $$

$\boldsymbol{\lambda}$ in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen

$$ g\colon\; \vec{s_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Der Spurpunkt $S_3$ hat die Koordinaten $(5|4|0)$.

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern