Wurzelgesetze
In diesem Kapitel schauen wir uns die Wurzelgesetze an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Wurzel?
- Potenzgesetze
Definition
Die Rechenregeln für Wurzeln heißen Wurzelgesetze.
Bezeichnungen
$\sqrt[n]{a}$: Wurzel (sprich:n-te Wurzel von a
)$\sqrt{\phantom{2}}$: Wurzelzeichen$a$: Radikand$n$: Wurzelexponent
Besondere Wurzeln
$\sqrt[1]{a} = a$$\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$: Die zweite Wurzel heißtQuadratwurzel
oder einfach nurWurzel
. Der Wurzelexponent wird bei Quadratwurzeln üblicherweise weggelassen.$\sqrt[3]{a}$: Die dritte Wurzel heißtKubikwurzel
.
Wurzelgesetze im Überblick
$$ a{\color{green}\sqrt[n]{x}} + b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a + b){\color{green}\sqrt[n]{x}} $$
Voraussetzung
- Gleicher Radikand
- Gleicher Wurzelexponent
$$ 3{\color{green}\sqrt{2}} + 4{\color{green}\sqrt{2}} = (3 + 4){\color{green}\sqrt{2}} = 7{\color{green}\sqrt{2}} $$
$$ 2{\color{green}\sqrt[3]{5}} + 6{\color{green}\sqrt[3]{5}} = (2 + 6){\color{green}\sqrt[3]{5}} = 8{\color{green}\sqrt[3]{5}} $$
$$ 5{\color{green}\sqrt[4]{3}} + {\color{green}\sqrt[4]{3}} = (5 + 1){\color{green}\sqrt[4]{3}} = 6{\color{green}\sqrt[4]{3}} $$
$$a {\color{green}\sqrt[n]{x}} - b{\color{green}\sqrt[n]{x}} = (a - b){\color{green}\sqrt[n]{x}} $$
Voraussetzung
- Gleicher Radikand
- Gleicher Wurzelexponent
$$ 4{\color{green}\sqrt{2}} - 3{\color{green}\sqrt{2}} = (4 - 3){\color{green}\sqrt{2}} = {\color{green}\sqrt{2}} $$
$$ 7{\color{green}\sqrt[3]{5}} - 2{\color{green}\sqrt[3]{5}} = (7 - 2){\color{green}\sqrt[3]{5}} = 5{\color{green}\sqrt[3]{5}} $$
$$ 5{\color{green}\sqrt[4]{3}} - {\color{green}\sqrt[4]{3}} = (5 - 1){\color{green}\sqrt[4]{3}} = 4{\color{green}\sqrt[4]{3}} $$
$$ \sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b} $$
Voraussetzung
- Gleicher Wurzelexponent*
$a \cdot b \geq 0$
$$ \sqrt[{\color{green}3}]{2} \cdot \sqrt[{\color{green}3}]{4} = \sqrt[{\color{green}3}]{2 \cdot 4} $$
$$ \sqrt[{\color{green}4}]{5} \cdot \sqrt[{\color{green}4}]{3} = \sqrt[{\color{green}4}]{5 \cdot 3} $$
$$ \frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}} $$
Voraussetzung
- Gleicher Wurzelexponent*
$$ \frac{\sqrt[{\color{green}4}]{32}}{\sqrt[{\color{green}4}]{2}} = \sqrt[{\color{green}4}]{\frac{32}{2}} $$
$$ \frac{\sqrt[{\color{green}3}]{2}}{\sqrt[{\color{green}3}]{4}} = \sqrt[{\color{green}3}]{\frac{2}{4}} $$
* Falls die Wurzelexponenten unterschiedlich sind, muss man die Wurzeln gleichnamig machen, um eine Multiplikation oder Division zu ermöglichen.
Wurzeln in Potenzen umformen
Die Wurzelrechnung ist mit der Potenzrechnung eng verwandt. Wurzeln lassen sich deshalb ohne Probleme in Potenzen umformen.
$$ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $$
$$ \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} $$
$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$
Durch das Umwandeln von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.
