Wurzelexponenten erweitern
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Erweitern von Wurzelexponenten.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Wurzel?
Anwendung
Wurzeln multiplizieren und Wurzeln dividieren können wir nur, wenn die Wurzeln den gleichen Wurzelexponenten haben. Sollte das nicht der Fall sein, müssen wir vor Multiplikation oder Division die Wurzelexponenten zunächst entsprechend erweitern.
Satz
Ein Wurzelexponent wird erweitert, indem man den Wurzelexponenten und den Exponenten des Radikanden mit dem gleichen Faktor $p$ erweitert:
$$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n{\color{red}p}]{a^{m{\color{red}p}}} $$
Beispiele
Erweitere den Wurzelexponenten von $\sqrt[4]{2^3}$ um den Faktor $2$.
$$ \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}2}]{2^{3 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[8]{2^{6}} $$
Erweitere den Wurzelexponenten von $\sqrt[3]{4^2}$ um den Faktor $2$.
$$ \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}2}]{4^{2 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[6]{4^{4}} $$
Erweitere den Wurzelexponenten von $\sqrt{3}$ um den Faktor $2$.
$$ \sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot {\color{red}2}]{3^{{\color{red}2}}} = \sqrt[4]{3^{2}} $$
Erweitere $\sqrt[4]{2^3}$ auf den Wurzelexponenten $12$.
$$ \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}3}]{2^{3 \cdot {\color{red}3}}} = \sqrt[{\color{green}12}]{2^{9}} $$
Erweitere $\sqrt[3]{4^2}$ auf den Wurzelexponenten $12$.
$$ \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}4}]{4^{2 \cdot {\color{red}4}}} = \sqrt[{\color{green}12}]{4^{8}} $$
