Quadratwurzel
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Quadratwurzel ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Wurzel?
Definition
Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl $a$
ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl,
deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl $a$ ist.
Zur Erinnerung: Quadrat
bedeutet mit sich selbst malgenommen
.
$$ \sqrt{9} = 3 \quad \text{wegen} \quad 3 \cdot 3 = 9 $$
(sprich: Die Quadratwurzel aus 9 ist 3.
)
Neben $3 \cdot 3 = 9$ gilt bekanntlich auch $(-3) \cdot (-3) = 9$. Gilt dann $\sqrt{9} = -3$?
Nein, denn die Quadratwurzel ist als nichtnegative Zahl definiert.
Damit erreicht man, dass der Begriff der Quadratwurzel eindeutig ist.
Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln
Um das Wurzelziehen zu vereinfachen, lohnt es sich, wenn man einige Wurzeln auswendig kann. Am einfachsten kann man sich die Quadratwurzeln von Quadratzahlen merken.
| Quadratzahl | Quadratwurzel | Bedeutung |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\sqrt{1} = \sqrt{1^{2}} = 1$ |
| 4 | 2 | $\sqrt{4} = \sqrt{2^{2}} = 2$ |
| 9 | 3 | $\sqrt{9} = \sqrt{3^{2}} = 3$ |
| 16 | 4 | $\sqrt{16} = \sqrt{4^{2}} = 4$ |
| 25 | 5 | $\sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5$ |
| 36 | 6 | $\sqrt{36} = \sqrt{6^{2}} = 6$ |
| 49 | 7 | $\sqrt{49} = \sqrt{7^{2}} = 7$ |
| 64 | 8 | $\sqrt{64} = \sqrt{8^{2}} = 8$ |
| 81 | 9 | $\sqrt{81} = \sqrt{9^{2}} = 9$ |
| 100 | 10 | $\sqrt{100} = \sqrt{10^{2}} = 10$ |
| 121 | 11 | $\sqrt{121} = \sqrt{11^{2}} = 11$ |
| 144 | 12 | $\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} = 12$ |
| 169 | 13 | $\sqrt{169} = \sqrt{13^{2}} = 13$ |
| 196 | 14 | $\sqrt{196} = \sqrt{14^{2}} = 14$ |
| 225 | 15 | $\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15$ |
| 256 | 16 | $\sqrt{256} = \sqrt{16^{2}} = 16$ |
| 289 | 17 | $\sqrt{289} = \sqrt{17^{2}} = 17$ |
| 324 | 18 | $\sqrt{324} = \sqrt{18^{2}} = 18$ |
| 361 | 19 | $\sqrt{361} = \sqrt{19^{2}} = 19$ |
| 400 | 20 | $\sqrt{400} = \sqrt{20^{2}} = 20$ |
| 441 | 21 | $\sqrt{441} = \sqrt{21^{2}} = 21$ |
| 484 | 22 | $\sqrt{484} = \sqrt{22^{2}} = 22$ |
| 529 | 23 | $\sqrt{529} = \sqrt{23^{2}} = 23$ |
| 576 | 24 | $\sqrt{576} = \sqrt{24^{2}} = 24$ |
| 625 | 25 | $\sqrt{625} = \sqrt{25^{2}} = 25$ |
Quadratwurzeln in Potenzen umformen
Jede Wurzel kann durch eine Potenz mit gebrochenem Exponenten dargestellt werden:
$$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $$
Durch das Umformen von Wurzeln in Potenzen können Aufgaben häufig vereinfacht werden. Grund dafür ist, dass viele Schüler lieber mit Potenzen als mit Wurzeln rechnen.
