Teilweises Wurzelziehen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie das teilweise Wurzelziehen funktioniert. Mathematiker sprechen in diesem Zusammenhang auch vom partiellen Radizieren
.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Wurzel?
- Wie funktioniert das Wurzelziehen?
Einordnung
Vielleicht ist dir bereits bekannt, dass die Wurzel aus $4$ gleich $2$ ist: $\sqrt{4} = 2$.
Falls nicht, lässt sich das mit einem Taschenrechner leicht überprüfen.
Bei der Wurzel aus $8$ zeigt der Taschenrechner ungefähr sowas an: $\sqrt{8} = 2{,}8284427\dots$
– eine ziemlich lange Zahl und in der Klausur äußerst unpraktisch zum Rechnen!
Aus diesem Grund gibt es das teilweise Wurzelziehen:
Beim teilweisen Wurzelziehen wird die Wurzel in eine ziehbare
und eine nicht-ziehbare
Wurzel aufgeteilt.
$$ \sqrt[2]{8} = \sqrt[2]{2 \cdot 2 \cdot 2} = \underbrace{\sqrt[2]{2^3}}_{\text{teilweise ziehbar}} = \sqrt[2]{2^2 \cdot 2} = \underbrace{\sqrt[2]{2^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{2}}_{\text{nicht-ziehbar}} = 2\sqrt[2]{2} $$
Eine (vollständig) ziehbare Wurzel hat die Eigenschaft, dass der Exponent der Potenz unter der Wurzel ein Vielfaches des Wurzelexponenten ist.
$\sqrt[2]{a^2}$, $\sqrt[2]{a^4}$, $\sqrt[2]{a^6}$…
$\sqrt[3]{a^3}$, $\sqrt[3]{a^6}$, $\sqrt[3]{a^9}$…
Eine nicht-ziehbare Wurzel hat die Eigenschaft, dass der Exponent der Potenz
- kein Vielfaches des Wurzelexponenten und
- kleiner als der Wurzelexponent ist.
Eine teilweise ziehbare Wurzel hat die Eigenschaft, dass der Exponent der Potenz
- kein Vielfaches des Wurzelexponenten und
- größer als der Wurzelexponent ist.
$\Rightarrow$ Die Wurzel lässt sich in eine ziehbare und eine nicht-ziehbare Wurzel zerlegen.
$$ \sqrt[2]{a^3} = \sqrt[2]{a^2 \cdot a} = \sqrt[2]{a^2} \cdot \sqrt[2]{a} $$
$$ \sqrt[2]{a^5} = \sqrt[2]{a^4 \cdot a} = \sqrt[2]{a^4} \cdot \sqrt[2]{a} $$
$$ \sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a} $$
$$ \sqrt[3]{a^8} = \sqrt[3]{a^6 \cdot a^2} = \sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{a^2} $$
Unter einer nicht-ziehbaren Wurzel
verstehen wir hier eine Wurzel, die sich ohne Taschenrechner oder ein Verfahren wie das schriftliche Wurzelziehen nicht berechnen lässt.
$$ \sqrt[2]{2^1} = \sqrt{2} = 1{,}414213\dots $$
$$ \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3} = 1{,}732050\dots $$
$$ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587401\dots $$
Im Folgenden schauen wir uns an, wie das teilweise Wurzelziehen genau funktioniert:
Primfaktorzerlegung
Potenzen auseinanderziehen
Wurzel auseinanderziehen
Wurzeln als Potenzen schreiben
Exponenten kürzen
zu 1)
1.1 Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen (Primfaktorzerlegung)
1.2 Primzahlen zusammenfassen
Falls nur Variablen unter der Wurzel sind, kann man sich diesen Schritt sparen.
zu 2)
Potenzen auseinanderziehen (= Umkehrung des Potenzgesetzes Potenzen multiplizieren
)
Falls sich unter der Wurzel eine Potenz befindet, deren Exponent
- kein Vielfaches des Wurzelexponenten und
- größer als der Wurzelexponent ist,
ziehen wir die Potenz so auseinander, dass eine ziehbare und eine nicht-ziehbare Wurzel entsteht (siehe nächster Schritt!).
Falls es keine teilweise ziehbaren Wurzeln gibt, kann man sich diesen Schritt sparen.
zu 3)
Wurzel auseinanderziehen (= Umkehrung des Wurzelgesetzes Wurzeln multiplizieren
)
$$ \sqrt{2^2 \cdot 2} = \underbrace{\sqrt{2^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{2}}}_{\text{nicht-ziehbar}} $$
zu 4)
Wurzeln als Potenzen schreiben (Wurzeln in Potenzen umformen)
$$ \sqrt[{\color{red}2}]{2^2} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} = 2^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} $$
Nicht-ziehbare Wurzeln bleiben in diesem Schritt unverändert!
zu 5)
Durch die Umwandlung der Wurzeln in Potenzen (4. Schritt) erhält man Potenzen mit gebrochenrationalen Exponenten
, d. h. die Exponenten der Potenzen sind Brüche und Brüche lassen sich bekanntlich kürzen (Brüche kürzen).
$$ 2^\frac{2}{2} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} = 2^1 \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} = 2{\color{blue}\sqrt{2}} $$
$$ \Rightarrow \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$
Quadratwurzeln berechnen
Teilweises Wurzelziehen mit Zahlen
Berechne $\sqrt{243}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{243}} &= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \\[5px] &= \sqrt{3^5} \end{align*} $$
Potenzen auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{243}} &= \sqrt{3^4 \cdot 3} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{243}} &= \underbrace{\sqrt{3^4}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{3}}}_{\text{nicht-ziehbar}} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{243}} &= \sqrt[{\color{red}2}]{3^4} \cdot {\color{blue}\sqrt{3}} \\[5px] &= 3^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{3}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{243}} &= 3^2 \cdot {\color{blue}\sqrt{3}} \\[5px] &= 3 \cdot 3 \cdot {\color{blue}\sqrt{3}} \\[5px] &= 9{\color{blue}\sqrt{3}} \end{align*} $$
Berechne $\sqrt{72}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{72}} &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} \\[5px] &= \sqrt{2^3 \cdot 3^2} \end{align*} $$
Potenzen auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{72}} &= \sqrt{2^2 \cdot 2 \cdot 3^2} \\[5px] &= \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{72}} &= \underbrace{\sqrt{2^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt{3^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{2}}}_{\text{nicht-ziehbar}} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{72}} &= \sqrt[{\color{red}2}]{2^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} \\[5px] &= 2^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{72}} &= 2^1 \cdot 3^1 \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} \\[5px] &= 2 \cdot 3 \cdot {\color{blue}\sqrt{2}} \\[5px] &= 6{\color{blue}\sqrt{2}} \end{align*} $$
Teilweises Wurzelziehen mit Variablen
Berechne $\sqrt{a^{11}}$.
Primfaktorzerlegung
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)
Potenzen auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{a^{11}}} &= \sqrt{a^{10} \cdot a} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{a^{11}}} &= \underbrace{\vphantom{\sqrt{a}}\sqrt{a^{10}}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{a}}}_{\text{nicht-ziehbar}} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{a^{11}}} &= \sqrt[{\color{red}2}]{a^{10}} \cdot {\color{blue}\sqrt{a}} \\[5px] &= a^\frac{10}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{a}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{a^{11}}} &= a^5{\color{blue}\sqrt{a}} \end{align*} $$
Berechne $\sqrt{18b}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{18b}} &= \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot b} \\[5px] &= \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot b} \\[5px] &= \sqrt{3^2 \cdot 2b} \end{align*} $$
Potenzen auseinanderziehen
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Es gibt keine teilweise ziehbare Wurzel!)
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{18b}} &= \underbrace{\sqrt{3^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt{2b}}}_{\text{nicht-ziehbar}} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{18b}} &= \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \cdot {\color{blue}\sqrt{2b}} \\[5px] &= 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot {\color{blue}\sqrt{2b}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{18b}} &= 3^1 \cdot {\color{blue}\sqrt{2b}} \\[5px] &= 3{\color{blue}\sqrt{2b}} \end{align*} $$
Höhere Wurzeln berechnen
Teilweises Wurzelziehen mit Zahlen
Berechne $\sqrt[5]{128}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{128}} &= \sqrt[5]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \\[5px] &= \sqrt[5]{2^7} \end{align*} $$
Potenzen auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{128}} &= \sqrt[5]{2^5 \cdot 2^2} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{128}} &= \underbrace{\sqrt[{\color{red}5}]{2^5}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt[5]{2^2}}}_{\text{nicht-ziehbar}} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{128}} &= 2^\frac{5}{{\color{red}5}} \cdot {\color{blue}\sqrt[5]{2^2}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{128}} &= 2^1 \cdot {\color{blue}\sqrt[5]{2^2}} \\[5px] &= 2{\color{blue}\sqrt[5]{4}} \end{align*} $$
Berechne $\sqrt[3]{288}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{288}} &= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} \\[5px] &= \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^2} \end{align*} $$
Potenzen auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{288}} &= \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{288}} &= \underbrace{\sqrt[{\color{red}3}]{2^3}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}}}_{\text{nicht-ziehbar}} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{288}} &= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{288}} &= 2^1 \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}} \\[5px] &= 2 \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}} \\[5px] &= 2{\color{blue}\sqrt[3]{36}} \\[5px] \end{align*} $$
Teilweises Wurzelziehen mit Variablen
Berechne $\sqrt[5]{a^{-19}}$.
Primfaktorzerlegung
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)
Potenzen auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{a^{-19}}} &= \sqrt[5]{a^{-15} \cdot a^{-4}} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{a^{-19}}} &= \underbrace{\sqrt[{\color{red}5}]{a^{-15}}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\vphantom{\sqrt[{\color{red}5}]{a^{-15}}}{\color{blue}\sqrt[5]{a^{-4}}}}_{\text{nicht-ziehbar}} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{a^{-19}}} &= a^\frac{-15}{{\color{red}5}} \cdot {\color{blue}\sqrt[5]{a^{-4}}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{a^{-19}}} &= a^{-3}{\color{blue}\sqrt[5]{a^{-4}}} \end{align*} $$
Berechne $\sqrt[3]{81(a+b)^4}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}} &= \sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot (a+b)^4} \\[5px] &= \sqrt[3]{3^4 \cdot (a+b)^4} \end{align*} $$
Potenzen auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}} &= \sqrt[3]{3^3 \cdot 3 \cdot (a+b)^3 \cdot (a+b)} \\[5px] &= \sqrt[3]{3^3 \cdot (a+b)^3 \cdot 3(a+b)} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}} &= \underbrace{\vphantom{\sqrt[{\color{red}3}]{(a+b)^3}}\sqrt[{\color{red}3}]{3^3}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[{\color{red}3}]{(a+b)^3}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{{\color{blue}\sqrt[3]{3(a+b)}}}_{\text{nicht-ziehbar}} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}} &= 3^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot (a+b)^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{3(a+b)}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{81(a+b)^4}} &= 3^1 \cdot (a+b)^1 \cdot {\color{blue}\sqrt[3]{3(a+b)}} \\[5px] &= 3(a+b){\color{blue}\sqrt[3]{3(a+b)}} \end{align*} $$
