Vereinigungsmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Vereinigungsmenge ist.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.

Gegeben

\(A\) ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind.
\(B\) ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen.

\(A = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}\}\)

\(B = \{{\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}, {\color{green}\text{Mark}}\}\)




Im Mengendiagramm ist schön zu erkennen, dass \(\text{Mark}\) als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.

Gesucht

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet ODER* spielen ein Musikinstrument?
* Das „oder“ bedeutet hier „und/oder“ und nicht „entweder...oder“.

Lösung

\(L = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\}\)

\(L\) enthält alle meine Freunde, die im Sportverein sind und/oder ein Musikinstrument spielen.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge \(L\) heißt Vereinigungsmenge oder Vereinigung von \(A\) und \(B\).

Mathematische Schreibweise

\(\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}
L = {\color{naranja}A \cup B}
\) (sprich: „L gleich A vereinigt mit B“)

Umgang mit Elementen, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) vorkommen

Gleiche Elemente (hier: \(\text{Mark}\)) kommen in der Vereinungsmenge nur einmal vor.
(Siehe dazu auch: Gleichheit von Mengen)

Definition der Vereinigungsmenge

Seien \(A\) und \(B\) Mengen, dann gilt:

Die Vereinigungsmenge \(A \cup B\) ist die Menge aller Elemente,
die zu \(A\) oder zu \(B\) oder zu beiden Mengen gehören:

\(A \cup B = \{x \,|\, x \in A \enspace \vee \enspace x \in B\}\)

Sprechweise

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cup B}_\text{A vereinigt mit B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\vee}_\text{oder}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~
\}
\)

Bedeutung von \(\vee\)

\(\vee\) ist das mathematische Symbol für das „logische ODER“. In der Logik ist eine Aussage, die mit \(\vee\) („oder“) verknüpft ist, wahr, wenn mindestens eine der beteiligten Aussagen wahr ist.

Mengendiagramm

Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu \(A\) oder zu \(B\) oder zu beiden Mengen gehören.

Vereinigungsmenge bestimmen

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Lösungsverfahren

  1. Alle Elemente der ersten Menge markieren
  2. Alle Elemente der zweiten Menge markieren,
    die noch nicht im 1. Schritt markiert wurden
  3. Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

Beispiel 1

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\)
\(B = \{\,\}\)

Vereinigungsmenge: \(A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\).

Besonderheit

Die Menge \(B\) ist leer.

Ist \(B = \{\,\}\), dann gilt: \(A \cup B = A\).

Beispiel 2

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\)
\(B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Vereinigungsmenge: \(A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Besonderheit

Die beiden Mengen \(A\) und \(B\) haben keine gemeinsamen Elemente.

Beispiel 3

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\)
\(B = \{3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Vereinigungsmenge: \(A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Besonderheit

Die beiden Mengen \(A\) und \(B\) haben gemeinsame Elemente.

Beispiel 4

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)
\(B = \{4, 5\}\)

Vereinigungsmenge: \(A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Besonderheit

\(B\) ist echte Teilmenge von \(A\).

Ist \(B \subset A\), dann gilt \(A \cup B = A\).

Beispiel 5

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)
\(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)

Vereinigungsmenge: \(A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Besonderheit

\(A\) und \(B\) sind gleich.

Ist \(A = B\), dann gilt \(A \cup B = A = B\).

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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