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Vereinigungsmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter einer Vereinigungsmenge versteht.
Dabei werden Grundkenntnisse der Mengenlehre als bekannt vorausgesetzt.

Die Vereinigungsmenge \(A \cup B\) zweier Mengen \(A\) und \(B\) ist die Menge aller Elemente, die zu \(A\) oder zu \(B\) oder zu beiden Mengen gehören:

\(A \cup B = \{x~|~x \in A \quad \vee \quad x \in B\}\)

Übersetzt bedeutet obige Formel:

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cup B}_\text{A vereinigt mit B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\vee}_\text{oder}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~
\}
\)

Vereinigungsmenge als Mengendiagramm

Die rot linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu \(A\) oder zu \(B\) oder zu beiden Mengen gehören.

Vereinigungsmenge berechnen

Im Folgenden schauen wir uns anhand einiger Beispiele an, wie man die Vereinigungsmenge zweier oder mehrerer Mengen berechnet.

Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{a,b,c\}, \qquad B = \{c,d,e\};\)

Die Vereinigungsmenge entspricht den Elementen, die zu \(A\) oder zu \(B\) oder zu beiden Mengen gehören.

Lösung: \(A \cup B = \{a,b,c,d,e\}\).

Hinweis: Obwohl sich der Buchstabe "c" in beiden Mengen befindet, wurde er nur einmal in die Lösungsmenge geschrieben. Grund dafür ist, dass Mengen laut Definition aus verschiedenen Elementen bestehen müssen. Doppelte Nennungen sind somit ausgeschlossen. Um Fehler wie Doppelnennungen oder fehlende Elemente zu vermeiden, kannst du bei der Berechnung einer Vereinungsmenge wie folgt vorgehen:

  1. Schreibe alle Elemente auf, die sich in der links von dem \(\cup\)-Zeichen stehenden Menge befinden
  2. Ergänze alle Elemente der rechts von dem \(\cup\)-Zeichen stehenden Menge, die du noch nicht in Schritt 1 aufgeschrieben hast

Zu einer Vereinigungsmenge gehören stets alle Elemente (ohne Doppelnennungen) der beteiligten Mengen.

In diesem Fall gilt:
\(A \cup B = \{a,b,c,d,e\}\)

Beispiel 2

Gegeben sind die drei Mengen

\(A = \{1,2,3\}, \qquad B = \{3,4,5\}, \qquad C = \{5,6,7\};\)

Die Vereinigungsmenge entspricht den Elementen, die zu \(A\), \(B\), \(C\) oder zu allen drei Mengen gehören.

Lösung: \(A \cup B \cup C = \{1,2,3,4,5,6,7\}\).

Beispiel 3

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{1,2,3,4,5\}, \qquad B = \{4,5\};\)

In diesem Fall ist \(B\) eine Teilmenge von \(A\), da jedes Element von \(B\) auch zur Menge \(A\) gehört. Das bedeutet, dass die Vereinigungsmenge der Obermenge \(A\) entspricht. Mathematisch formuliert:

Ist \(B \subset A\), dann gilt \(A \cup B = A\).

Lösung: \(A \cup B = A = \{1,2,3,4,5\}\).

In der Graphik kann man gut erkennen, dass die Menge \(B\) eine Teilmenge von \(A\) ist.

Beispiel 4

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{1,2,3\}, \qquad B = \{\};\)

Die Vereinigungsmenge einer leeren Menge mit einer nicht-leeren Menge ist gleich der nicht-leeren Menge.

Lösung: \(A \cup B = \{1,2,3\}\).

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenoperationen    
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
Symmetrische Differenz \(A \triangle B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Komplement \(B^{C}\) \(:= \{x~|~x \notin B\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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