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Vereinigungs­menge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Vereinigungsmenge ist.

Erforderliches Vorwissen

Einführungsbeispiel 

Gegeben

$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind:
$$ A = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}\} $$

$B$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:
$$ B = \{{\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}, {\color{green}\text{Mark}}\} $$

Ein Blick auf das Mengendiagramm verrät, dass $\text{Mark}$ als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.

Abb. 1 

Frage

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet ODER* spielen ein Musikinstrument?

Anmerkung

Das oder bedeutet hier und/oder (und nicht entweder…oder).

Fragen mit entweder…oder beantwortet die symmetrische Differenz.

Antwort

$$ L = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\} $$

$L$ enthält alle meine Freunde, die im Sportverein sind und/oder ein Musikinstrument spielen.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge $L$ heißt Vereinigungsmenge oder Vereinigung von $A$ und $B$.

Mathematische Schreibweise

$\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0} L = {\color{naranja}A \cup B} $ (sprich: L gleich A vereinigt mit B)

Umgang mit Elementen, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen

Gleiche Elemente (hier: $\text{Mark}$) kommen in der Vereinungsmenge nur einmal vor, weil laut Definition einer Menge (Zusammenfassung von verschiedenen Objekten) jedes Element in einer Menge nur einmal vorkommen darf.

Definition der Vereinigungsmenge 

Seien $A$ und $B$ Mengen, dann gilt:

Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ ist die Menge aller Elemente, die zu $A$ oder zu $B$ oder zu beiden Mengen gehören:

$$ A \cup B = \{x \,|\, x \in A \enspace \vee \enspace x \in B\} $$

Sprechweise

$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cup B}_\text{A vereinigt mit B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\vee}_\text{oder}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~ \} $$

Bedeutung von $\vee$

$\vee$ ist das mathematische Symbol für das logische ODER. In der Logik ist eine Aussage, die mit $\vee$ (oder) verknüpft ist, wahr, wenn mindestens eine der beteiligten Aussagen wahr ist.

Mengendiagramm

Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu $A$ oder zu $B$ oder zu beiden Mengen gehören.

Abb. 2 

Vereinigungsmenge bestimmen 

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Alle Elemente der 1. Menge markieren

Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

Beispiel 1 

Bestimme die Vereingungsmenge von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{\,\}$.

Alle Elemente der 1. Menge markieren

$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$

Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind

$$ B = \{\,\} $$

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$

Besonderheit

Die Menge $B$ ist leer.

Ist $B = \{\,\}$, dann gilt: $A \cup B = A$.

Abb. 3 

Beispiel 2 

Bestimme die Vereingungsmenge von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{4, 5\}$.

Alle Elemente der 1. Menge markieren

$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$

Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind

$B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}$.

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Besonderheit

Die beiden Mengen $A$ und $B$ haben keine gemeinsamen Elemente.

Abb. 4 

Beispiel 3 

Bestimme die Vereingungsmenge von $$ A = \{1, 2, 3\} $$ und $B = \{3, 4, 5\}$.

Alle Elemente der 1. Menge markieren

$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$

Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind

$B = \{3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$.

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Besonderheit

Die beiden Mengen $A$ und $B$ haben gemeinsame Elemente.

Abb. 5 

Beispiel 4 

Bestimme die Vereingungsmenge von $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ und $B = \{4, 5\}$.

Alle Elemente der 1. Menge markieren

$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind

$$ B = \{4, 5\} $$

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Besonderheit

$B$ ist echte Teilmenge von $A$.

Ist $B \subset A$, dann gilt $A \cup B = A$.

Abb. 6 

Beispiel 5 

Bestimme die Vereingungsmenge von $$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$ und $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Alle Elemente der 1. Menge markieren

$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind

$$ B = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$

Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$

Besonderheit

$A$ und $B$ sind gleich.

Ist $A = B$, dann gilt $A \cup B = A = B$.

Abb. 7 

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