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Teilmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Teilmenge ist.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Eine Menge $A$ heißt Teilmenge einer Menge $B$, wenn jedes Element von $A$ auch zur Menge $B$ gehört:

$$ A \subseteq B~\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B) $$

Die obige Formel bedeutet übersetzt:

$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \subseteq B}_\text{A ist Teilmenge von B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\Leftrightarrow}_\text{genau dann, wenn}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\forall x}_\text{für alle x gilt:}~~ ( \underbrace{\vphantom{\big \vert}x \in A \Rightarrow x \in B}_\text{aus x ist Element von A folgt x ist Element von B}~~ ) $$

Beispiel 1 

Untersuche, in welcher Beziehung $$ A = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$ und $$ B = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$ zueinander stehen.

Beobachtung
$A$ ist in $B$ enthalten.

Schreib- und Sprechweise
$\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}{\color{naranja}A \subseteq B}$ (sprich: A ist Teilmenge von B)

Abb. 1 

Beispiel 2 

Untersuche, in welcher Beziehung $$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$ und $$ B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$ zueinander stehen.

Beobachtung 1
$A$ ist in $B$ enthalten.

Schreib- und Sprechweise 1
$\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}{\color{naranja}A \subseteq B}$ (sprich: A ist Teilmenge von B)

Beobachtung 2
$A$ und $B$ sind gleich.

Schreib- und Sprechweise 2
$A = B$ (sprich: A gleich B)

Abb. 2 

Anmerkung

Das letzte Beispiel hat gezeigt, dass gilt:
Die Teilmengenbeziehung $A \subseteq B$ (oder: $B \subseteq A$) schließt den Fall der Mengengleichheit $A = B$ mit ein. Aus diesem Grund gibt es neben dem Begriff der Teilmenge auch den Begriff der echten Teilmenge, der die Gleichheit der Mengen ausschließt.

Mengen auf Teilmengenbeziehung prüfen 

Beispiel 3 

Ist $A = \{1\}$ Teilmenge von $B = \{1, 2, 3\}$?

$A \subseteq B$ (A ist Teilmenge von B)

Begründung
Jedes Element von $A$ ist auch in $B$ enthalten ist.

Beispiel 4 

Ist $A = \{4\}$ Teilmenge von $B = \{1, 2, 3\}$?

$A \nsubseteq B$ (A ist keine Teilmenge von B)

Begründung
Das Element $4$ ist nicht in $B$ enthalten ist.

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