Schnittmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter einer Schnittmenge versteht.
Dabei werden Grundkenntnisse der Mengenlehre als bekannt vorausgesetzt.

Die Schnittmenge \(A \cap B\) zweier Mengen \(A\) und \(B\) ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\) gehören:

\(A \cap B = \{x~|~x \in A \quad \wedge \quad x \in B\}\)

Übersetzt bedeutet obige Formel:

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cap B}_\text{A geschnitten mit B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~
\}
\)

Die Schnittmenge bezeichnet man auch als Durchschnittsmenge oder als den Durchschnitt zweier Mengen.

Schnittmenge als Mengendiagramm

Die rot linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\) gehören.

Schnittmenge berechnen

Im Folgenden schauen wir uns anhand einiger Beispiele an, wie man die Schnittmenge zweier oder mehrerer Mengen berechnet.

Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{a,b,c\}, \qquad B = \{c,d,e\};\)

Die Schnittmenge entspricht den Elementen, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) vorkommen.

Lösung: \(A \cap B = \{c\}\).

Aus der Graphik kann man leicht herauslesen, dass nur der Buchstabe "c" in beiden Mengen vorkommt.

Beispiel 2

Gegeben sind die drei Mengen

\(A = \{0,3,5\}, \qquad B = \{0,3,6\}, \qquad C = \{1,2,3\};\)

Die Schnittmenge entspricht den Elementen, die sowohl in \(A\), \(B\) als auch in \(C\) vorkommen.

Lösung: \(A \cap B \cap C = \{3\}\).

Beispiel 3

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{1,2,3,4,5\}, \qquad B = \{4,5\};\)

In diesem Fall ist \(B\) eine Teilmenge von \(A\), da jedes Element von \(B\) auch zur Menge \(A\) gehört. Das bedeutet, dass die Schnittmenge der Teilmenge entspricht. Mathematisch formuliert:

Ist \(B \subset A\), dann gilt \(A \cap B = B\).

Lösung: \(A \cap B = B = \{4,5\}\).

In der Graphik kann man gut erkennen, dass die Menge \(B\) eine Teilmenge von \(A\) ist.

Beispiel 4

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{1,2,3\}, \qquad B = \{4,5,6\};\)

Da es kein Element gibt, dass sowohl in \(A\) als auch in \(B\) vorhanden ist, entspricht die Schnittmenge der leeren Menge.

Lösung: \(A \cap B = \{\}\).

Beispiel 5

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{1,2,3\}, \qquad B = \{\};\)

Die Schnittmenge einer leeren Menge mit einer nicht-leeren Menge ist gleich der leeren Menge.

Lösung: \(A \cap B = \{\}\).

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenoperationen    
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
Symmetrische Differenz \(A \triangle B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Komplement \(B^{C}\) \(:= \{x~|~x \notin B\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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