Schnittmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Schnittmenge ist.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.

Gegeben

\(A\) ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind.
\(B\) ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen.

\(A = \{\text{David}, \text{Johanna}, {\color{green}\text{Mark}}, \text{Robert}\}\)

\(B = \{\text{Anna}, \text{Laura}, {\color{green}\text{Mark}}\}\)




Im Mengendiagramm ist schön zu erkennen, dass \(\text{Mark}\) als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.

Gesucht

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen ein Musikinstrument?

Lösung

\(L = \{{\color{green}\text{Mark}}\}\)

\(L\) enthält alle meine Freunde, die im Sportverein sind und ein Musikinstrument spielen.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge \(L\) heißt Schnittmenge oder Durchschnitt von \(A\) und \(B\).
Wir können die Menge \(L\) auch als Durchschnittsmenge bezeichnen.

Mathematische Schreibweise

\(\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}
L = {\color{naranja}A \cap B}
\) (sprich: „L gleich A geschnitten mit B“)

Definition der Schnittmenge

Seien \(A\) und \(B\) Mengen, dann gilt:

Die Schnittmenge \(A \cap B\) ist die Menge aller Elemente,
die sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\) gehören:

\(A \cap B = \{x \,|\, x \in A \enspace \wedge \enspace x \in B\}\)

Sprechweise

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cap B}_\text{A geschnitten mit B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~
\}
\)

Bedeutung von \(\wedge\)

\(\wedge\) ist das mathematische Symbol für das „logische UND“. In der Logik ist eine Aussage, die mit \(\wedge\) („und“) verknüpft ist, wahr, wenn beide der beteiligten Aussagen wahr sind.

Mengendiagramm

Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\) gehören.

Schnittmenge bestimmen

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Lösungsverfahren

  1. Alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, markieren
  2. Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen

Beispiel 1

\(A = \{1, 2, 3\}\)
\(B = \{\,\}\)

Schnittmenge: \(A \cap B = \{\,\}\).

Besonderheit

Die Menge \(B\) ist leer.

Ist \(B = \{\,\}\), dann gilt: \(A \cap B = \{\,\}\).

Beispiel 2

\(A = \{1, 2, 3\}\)
\(B = \{4, 5\}\)

Schnittmenge: \(A \cap B = \{\,\}\)

Besonderheit

Die beiden Mengen \(A\) und \(B\) haben keine gemeinsamen Elemente.

Beispiel 3

\(A = \{1, 2, {\color{green}3}\}\)
\(B = \{{\color{green}3}, 4, 5\}\)

Schnittmenge: \(A \cap B = \{{\color{green}3}\}\)

Besonderheit

Die beiden Mengen \(A\) und \(B\) haben gemeinsame Elemente.

Beispiel 4

\(A = \{1, 2, 3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)
\(B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Schnittmenge: \(A \cap B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Besonderheit

\(B\) ist echte Teilmenge von \(A\).

Ist \(B \subset A\), dann gilt \(A \cap B = B\).

Beispiel 5

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)
\(B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Schnittmenge: \(A \cap B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Besonderheit

\(A\) und \(B\) sind gleich.

Ist \(A = B\), dann gilt \(A \cap B = A = B\).

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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