Mathebibel.de / Erklärungen / Algebra / Mengenlehre / Symmetrische Differenz

Symmetrische Differenz

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die symmetrische Differenz zweier Mengen ist.
Dabei werden Grundkenntnisse der Mengenlehre als bekannt vorausgesetzt.

Die symmetrische Differenz \(A \triangle B\) zweier Mengen \(A\) und \(B\) ist die Menge aller Elemente, die zu \(A\) oder zu \(B\), nicht aber zu beiden Mengen gehören:

\(A \triangle B = \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)

Übersetzt bedeutet obige Formel:

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \triangle B}_\text{Die symmetrische Differenz von A und B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}
\)
\(
(
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \notin B}_\text{x ist kein Element von B}
)
\underbrace{\vphantom{\vert}\vee}_\text{oder}
(
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \notin A}_\text{x ist kein Element von A}
)
\}
\)

Symmetrische Differenz als Mengendiagramm

Die rot linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu \(A\) oder zu \(B\), nicht aber zu beiden Mengen gehören.

Symmetrische Differenz berechnen

Im Folgenden schauen wir uns anhand einiger Beispiele an, wie man die symmetrische Differenz zweier oder mehrerer Mengen berechnet.

Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{a,b,c\}, \qquad B = \{c,d,e\};\)

Die symmetrische Differenz entspricht den Elementen, die zu \(A\) oder zu \(B\), nicht aber zu beiden Mengen gehören. Am einfachsten ist es, wenn wir die Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, einfach herausstreichen.

\(A = \{a,b,\cancel{c}\}, \qquad B = \{\cancel{c},d,e\};\)

Lösung: \(A \triangle B = \{a,b,d,e\}\).

Aus der Graphik kann man leicht herauslesen, dass nur der Buchstabe "c" in beiden Mengen vorkommt. Alle anderen Buchstaben gehören zur symmetrischen Differenz.

Beispiel 2

Gegeben sind die drei Mengen

\(A = \{1,2,3,4,5\}, \qquad B = \{0,2,4,6,8\}, \qquad C = \{4,7,9\};\)

Alle Elemente, die in zwei oder allen drei Mengen vorkommen, streichen wir heraus.

\(A = \{1,\cancel{2},3,\cancel{4},5\}, \qquad B = \{0,\cancel{2},\cancel{4},6,8\}, \qquad C = \{\cancel{4},7,9\};\)

Lösung: \(A \triangle B \triangle C = \{0,1,3,5,6,7,8,9\}\)

Beispiel 3

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{1,2,3\}, \qquad B = \{4,5,6\};\)

Da die beiden Mengen keine gemeinsamen Elemente besitzen, entspricht die symmetrische Differenz allen Elementen, die in \(A\) und \(B\) vorkommen (> Vereinigungsmenge).

Lösung: \(A \triangle B = A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}\).

Beispiel 4

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{1,2,3\}, \qquad B = \{\};\)

Die symmetrische Differenz einer nicht-leeren Menge und einer leeren Menge ist gleich der nicht-leeren Menge.

Lösung: \(A \triangle B = A = \{1,2,3\}\).

Beispiel 5

Gegeben sind die beiden Mengen

\(A = \{\}, \qquad B = \{1,2,3\};\)

Die symmetrische Differenz einer leeren Menge und einer nicht-leeren Menge ist gleich der nicht-leeren Menge.

Lösung: \(A \triangle B = B = \{1,2,3\}\).

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenoperationen    
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
Symmetrische Differenz \(A \triangle B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Komplement \(B^{C}\) \(:= \{x~|~x \notin B\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
Über das Kontaktformular kannst du mit dem Autor direkt in Verbindung treten.