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Symmetrische Differenz

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die symmetrische Differenz ist.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.

Gegeben

\(A\) ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind.
\(B\) ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen.

\(A = \{\text{David}, \text{Johanna}, \text{Mark}, \text{Robert}\}\)

\(B = \{\text{Anna}, \text{Laura}, \text{Mark}\}\)




Im Mengendiagramm ist schön zu erkennen, dass \(\text{Mark}\) der einzige meiner Freunde ist, der sowohl im Sportverein ist als auch ein Musikinstrument spielt.

Gesucht

Welche meiner Freunde sind ENTWEDER im Sportverein ODER spielen ein Musikinstrument?

Lösung

\(C = \{\text{David}, \text{Johanna}, \text{Robert}, \text{Anna}, \text{Laura}\}\)

\(C\) enthält alle meine Freunde, die entweder im Sportverein sind oder ein Musikstrument spielen.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge \(C\) heißt symmetrische Differenz von \(A\) und \(B\).

Mathematische Schreibweise

\(\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}
C = {\color{naranja}A \bigtriangleup B}
\) (sprich: „C gleich der symmetrischen Differenz von A und B“)
Abkürzend können wir \(C = A \bigtriangleup B\) auch als „C gleich A Delta B“ sprechen.

Definition der symmetrischen Differenz

Seien \(A\) und \(B\) Mengen, dann gilt:

Die symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) ist die Menge aller Elemente,
die zu \(A\) oder zu \(B\), aber nicht zu beiden Mengen gehören:

\(
A \bigtriangleup B = \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}
\)

Sprechweise

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \bigtriangleup B}_\text{Die symmetrische Differenz von A und B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}
\)
\(
(
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \notin B}_\text{x ist kein Element von B}
)
\underbrace{\vphantom{\vert}\vee}_\text{oder}
(
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \notin A}_\text{x ist kein Element von A}
)
\}
\)

Vereinfachte Schreibweise

Mit Hilfe der Differenzmenge können wir die obige Definition erheblich vereinfachen:

\(A \bigtriangleup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\)

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \bigtriangleup B}_\text{A Delta B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}(A \setminus B)}_\text{A ohne B}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\cup}_\text{oder}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}(B \setminus A)}_\text{B ohne A}
\)

Alternative Definition

\(A \bigtriangleup B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\)

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}A \bigtriangleup B}_\text{A Delta B}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}(A \cup B)}_\text{A vereinigt mit B}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\setminus}_\text{ohne}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}(A \cap B)}_\text{A geschnitten mit B}
\)

Die symmetrische Differenz ist die Vereinigung von \(A\) und \(B\) abzüglich ihres Durchschnitts.

Mengendiagramm

Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu \(A\) oder zu \(B\), aber nicht zu beiden Mengen gehören.

Symmetrische Differenz bestimmen

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Lösungsverfahren

  1. Elemente, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) vorkommen, streichen
  2. Nicht durchgestrichene Elemente von \(A\) und \(B\) in neuer Menge zusammenfassen

Beispiel 1

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\)
\(B = \{\,\}\)

Symmetrische Differenz: \(A \bigtriangleup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\).

Besonderheit

Die Menge \(B\) ist leer.

Ist \(B = \{\,\}\), dann gilt: \(A \bigtriangleup B = A\).

Beispiel 2

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\)
\(B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Symmetrische Differenz: \(A \bigtriangleup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Besonderheit

Die beiden Mengen \(A\) und \(B\) haben keine gemeinsamen Elemente.

Ist \(A \cap B = \emptyset\), dann gilt: \(A \bigtriangleup B = A \cup B\).

Beispiel 3

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{red}\cancel{3}}\}\)
\(B = \{{\color{red}\cancel{3}}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Symmetrische Differenz: \(A \bigtriangleup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}\)

Besonderheit

Die beiden Mengen \(A\) und \(B\) haben gemeinsame Elemente.

Beispiel 4

\(A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}\)
\(B = \{{\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}\)

Symmetrische Differenz: \(A \bigtriangleup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\)

Besonderheit

\(B\) ist echte Teilmenge von \(A\).

Ist \(B \subset A\), dann gilt: \(A \bigtriangleup B = A \setminus B\).

Beispiel 5

\(A = \{{\color{red}\cancel{1}}, {\color{red}\cancel{2}}, {\color{red}\cancel{3}}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}\)
\(B = \{{\color{red}\cancel{1}}, {\color{red}\cancel{2}}, {\color{red}\cancel{3}}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}\)

Symmetrische Differenz: \(A \bigtriangleup B = \{\,\}\)

Besonderheit

\(A\) und \(B\) sind gleich.

Ist \(A = B\), dann gilt \(A \bigtriangleup B = \{\,\}\).

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(B^{C}\) \(:= \{x~|~x \notin B\}\)
Symmetrische Differenz \(A \triangle B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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