Winkel zwischen zwei Vektoren
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Winkel zwischen zwei Vektoren versteht.
Erforderliches Vorwissen
Formel
$$ \cos\varphi = \frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} \qquad \Rightarrow \qquad \varphi = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}\right) $$
- Der Ausdruck
$\vec{u}\circ\vec{v}$ist das Skalarprodukt der Vektoren. - Der Ausdruck
$\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|$ist das Produkt der Beträge der Vektoren.
Anleitung
Skalarprodukt berechnen
Beträge der Vektoren berechnen
Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen
Formel nach $\boldsymbol{\varphi}$ auflösen
Beispiel
Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$?
Skalarprodukt berechnen
$$ \begin{align*} \vec{u}\circ\vec{v} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\[5px] &= 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \\[5px] &= -3 \end{align*} $$
Beträge der Vektoren berechnen
$$ \begin{align*} \left|\vec{u}\right| &= \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \\[5px] &= 3 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \left|\vec{v}\right| &= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} \\[5px] &= \sqrt{3} \end{align*} $$
Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen
$$ \begin{align*} \cos\varphi &= \frac{\vec{u}\circ\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|} \\[5px] &= \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{3}} \\[5px] &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*} $$
Formel nach $\boldsymbol{\varphi}$ auflösen
$$ \begin{align*} \varphi &= \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\[5px] &\approx 125{,}26^\circ \end{align*} $$
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt etwa $125{,}26^\circ$ Grad.
Das Ergebnis verstehen
Der Winkel befindet sich stets zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$, da dies dem Wertebereich der $\cos^{-1}$-Funktion entspricht.
In der Abbildung ist zu erkennen, dass es neben dem Winkel $\alpha$, um den es in diesem Kapitel geht, noch einen weiteren Winkel gibt, der hier mit $\beta$ bezeichnet wird.
Mithilfe der oben erwähnten Formel berechnen wir stets den spitzen Winkel, d. h. den Winkel $\alpha$.
Es gilt: $\alpha+\beta = 360^\circ$
bzw.
$\beta = 360^\circ - \alpha$
