Vektor
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Vektor ist.
Erforderliches Vorwissen
Einführungsbeispiel
David und Anna möchten gemeinsam ins Kino gehen.
David: Wo treffen wir uns?
Anna: Wir treffen uns in 500 m Entfernung von hier.
Die Aussage Wir treffen uns in 500 m Entfernung von hier
wird nicht zu einem erfolgreichen Zusammentreffen führen, da eine Richtungsangabe fehlt: David weiß nicht, in welche Richtung er 500 m gehen soll.
Befinden sich David und Anna zum Beispiel am Punkt $A$ und gilt $\overline{AB} = \overline{AC} = 500\ \textrm{m}$, dann könnte Anna sowohl den Punkt $B$ als auch den Punkt $C$ meinen.
Wir nehmen an, dass Anna sich mit David am Punkt $B$ treffen will. In der Abbildung können wir das durch eine Verbindungslinie zwischen den Punkten $A$ und $B$ veranschaulichen.
Aus der Darstellung geht allerdings nicht hervor, ob David die Strecke von $A$ nach $B$ oder von $B$ nach $A$ zurücklegen muss.
Durch Ergänzen einer Pfeilspitze geben wir der Strecke eine sog. Orientierung
. Jetzt können wir anhand der Abbildung sofort erkennen, dass David von $A$ nach $B$ gehen muss.
Eine Strecke mit einem Anfangs- und einem Endpunkt heißt orientierte Strecke und wird graphisch durch einen Pfeil dargestellt.
Definition
Eine Größe, zu deren vollständiger Beschreibung neben einer Zahl noch die Angabe ihrer Richtung und Orientierung erforderlich ist, heißt Vektor.
Bei physikalischen Größen gehört zur vollständigen Beschreibung noch die Angabe der Einheit.
Wortherkunft
Das Wort Vektor
stammt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie Träger
, Fahrer
– aber auch Passagier
. Im ursprünglichen Sinn steht das Wort also in einer Beziehung zu dem Vorgang, der eine Person oder ein Objekt von einem Ort zu einem anderen Ort transportiert.
Schreibweise
Vektoren werden meist mit Kleinbuchstaben mit darüberliegendem Pfeil (z. B. $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},\dots$) oder durch die Angabe von Anfangs- und Endpunkt (z. B. $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{QP}, \dots$) bezeichnet.
Sprechweise
$\vec{a}$ lesen wir als Vektor a
, $\overrightarrow{AB}$ entsprechend als Vektor A B
.
Beispiele für Vektoren aus der Physik
- Strecke (Weg)
$\vec{s}$ - Kraft
$\vec{F}$ - Geschwindigkeit
$\vec{v}$ - Beschleunigung
$\vec{a}$
Unterschied zwischen Vektor und Skalar
Von Vektoren (gerichteten Größen) sind Skalare (ungerichtete Größen) zu unterscheiden, die allein schon durch die Angabe einer Zahl vollständig beschrieben und charakterisiert sind.
Graphische Darstellung
Ein Vektor ist durch Länge, Richtung und Orientierung eindeutig bestimmt.
Das Wort Richtung
hat hier eine etwas andere Bedeutung als im alltäglichen Sprachgebrauch.
Richtung
im echten Leben
In unserem Alltag unterscheiden wir Norden
und Süden
als entgegengesetzte Richtungen. Aus diesem Grund nehmen wir intuitiv an, dass eine Gerade zwei Richtungen besitzt.
Richtung
in der Mathematik
Ein Mathematiker versteht unter der Richtung einer Gerade
das, was allen untereinander parallelen Geraden gemeinsam ist. Für ihn hat eine Gerade also nur eine Richtung.
Allerdings können wir auf einer Richtung zwei Orientierungen voneinander unterscheiden.
Wir halten fest, dass in der Mathematik das Wort Richtung
– im Gegensatz zum alltäglichen Sprachgebrauch – die Orientierung
nicht einschließt. Welchen Einfluss die Orientierung
auf das Rechnen mit Vektoren hat, werden wir gleich genau unter die Lupe nehmen.
Graphische Darstellung eines Vektors
Ein Vektor kann als orientierte Strecke (Pfeil
) dargestellt werden.
Geometrische Merkmale eines Pfeils sind:
- Pfeillänge = Länge des Vektors
- Pfeilschaft = Richtung des Vektors
- Pfeilspitze = Orientierung des Vektors
Die Orientierung eines Vektors gibt an, nach welcher Seite der Richtung positiv zu rechnen ist.
Orientierung
in der Mathematik
Die Pfeilspitze in Richtung $B$ bedeutet,
dass wir von $A$ nach $B$ positiv
(und von $B$ nach $A$ negativ)
rechnen.
Ist $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, dann ist $\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$.
$-\vec{a}$ heißt Gegenvektor von $\vec{a}$.
Eine Parallelverschiebung des Vektors ändert seine Länge, Richtung und Orientierung nicht.
Aus dieser Tatsache können wir folgern, dass die Lage eines Vektors beliebig ist.
Gleichheit von Vektoren
Die Menge aller Pfeile, die
- gleich lang, (Länge)
- parallel und (Richtung)
- gleich orientiert (Orientierung)
sind, heißt Vektor.
Alle Pfeile, die die obigen drei Eigenschaften erfüllen, bezeichnen wir als parallelgleich.
Die Menge aller parallelgleicher Pfeile heißt Vektor. Jeder einzelne Pfeil dieser Menge heißt Repräsentant des Vektors.
Wir können stets nur Pfeile als Repräsentanten des Vektors zeichnen, niemals jedoch den Vektor selbst. Der Einfachheit halber werden die einzelnen Pfeile oftmals auch als Vektoren bezeichnet.
Vektoren mit gemeinsamen Eigenschaften
Für Vektoren, die sich nur bestimmte Eigenschaften teilen, gibt es besondere Bezeichnungen.
Gegenvektor
Ein Vektor $\vec{b}$ heißt Gegenvektor zu einem Vektor $\vec{a}$, wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zueinander parallel, gleich lang und entgegengesetzt orientiert sind.
Es gilt: $\vec{b}=-\vec{a}$.
Parallele Vektoren
Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ heißen parallel,
wenn sie die gleiche Richtung haben.
Symbolische Schreibweise: $\vec{a}\parallel\vec{b}$
Parallele Vektoren können wir unterscheiden in
- gleichsinnig parallele Vektoren (
$\vec{a}\uparrow\uparrow\vec{b}_1$) und - gegensinnig parallele Vektoren (
$\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}_2$).
Koordinatendarstellung
Im Folgenden beschränken wir uns der Einfachheit halber auf den zweidimensionalen Raum.
Um mit Vektoren praktisch rechnen zu können, ist eine Koordinatendarstellung zweckmäßig. In der Schule lernen wir das kartesische Koordinatensystem kennen, mit dessen Hilfe wir die Lage jedes Punktes in der Ebene durch seine beiden kartesischen Koordinaten beschreiben können.
$A(x|y)$ ist die Koordinatendarstellung eines Punktes.
Punkt
Der Punkt $A(3|2)$ ist
$3$ Längeneinheiten in $x$-Richtung und
$2$ Längeneinheiten in $y$-Richtung
vom Koordinatenursprung $O(0|0)$ entfernt.
Zur Unterscheidung von Punktkoordinaten schreiben wir Vektorkoordinaten untereinander.
$\vec{a} = \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$ ist die Koordinatendarstellung eines Vektors.
Vektor
Der Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}$ beschreibt
die Menge aller Pfeile, deren Endpunkte
$3$ Längeneinheiten in $x$-Richtung und
$2$ Längeneinheiten in $y$-Richtung
vom Anfangspunkt entfernt sind.
In vielen Aufgabenstellungen geht es darum, die Koordinatendarstellung des Vektors, der zwei gegebene Punkte miteinander verbindet, zu bestimmen. Das ist besonders einfach, wenn der Anfangspunkt des Vektors im Koordinatenursprung $O(0|0)$ des Koordinatensystems liegt.
Ein Vektor,
dessen Anfangspunkt im Ursprung $O$ und
dessen Endpunkt im Punkt $A$ liegt,
heißt Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ von $A$.
Der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ von $A$ hat dieselben Koordinaten wie $A$:
$$ A(x|y) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
Für $A(3|2)$ gilt:
$$ A(3|2) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Liegt der Anfangspunkt nicht im Ursprung, kommen wir um eine Berechnung nicht herum.
Ein Vektor,
der zwei beliebige Punkte $P$ und $Q$ miteinander verbindet,
heißt Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ von $P$ und $Q$.
Der Verbindungsvektor berechnet sich nach der Formel Endpunkt minus Anfangspunkt
.
Die Koordinaten des Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$ entsprechen den Koordinatendifferenzen der beiden Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$:
$$ \overrightarrow{P{\color{red}Q}} = \begin{pmatrix} {\color{red}x_Q}-x_P \\ {\color{red}y_Q}-y_P \end{pmatrix} $$
Für $P(2|4)$ und $Q(5|6)$ gilt:
$$ \overrightarrow{P{\color{red}Q}} = \begin{pmatrix} {\color{red}5}-2 \\ {\color{red}6}-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Jeder Ortsvektor kann als spezieller Verbindungsvektor (mit Anfangspunkt $O$) gedeutet werden.
