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Schnittpunkt berechnen
(Lineare Funktionen)

In diesem Kapitel lernen wir, den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen.

Voraussetzung

Ein Schnittpunkt existiert nur, wenn die beiden gegebenen Geraden eine unterschiedliche Steigung besitzen. Dies ist nämlich die Voraussetzung dafür, dass sich die Geraden schneiden. Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel über die Lagen zweier Geraden.

Beispiel 1

\(g:\: y = {\color{red}2}x + 1\)
\(h:\: y = {\color{red}2}x + 3\)
\(\Rightarrow\) Die Geraden besitzen dieselbe Steigung.
\(\phantom{\Rightarrow}\) Es existiert kein Schnittpunkt.

Beispiel 2

\(g:\: y = {\color{green}2}x + 1\)
\(h:\: y = {\color{green}4}x + 3\)
\(\Rightarrow\) Die Geraden besitzen eine unterschiedliche Steigung.
\(\phantom{\Rightarrow}\) Es existiert ein Schnittpunkt.

Wir können festhalten:

Voraussetzung für das Vorhandensein eines Schnittpunktes ist, dass die beiden Funktionsgleichungen eine unterschiedliche Steigung besitzen.

Schnittpunkt zweier Geraden berechnen

Wenn du in einer Aufgabenstellung den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen sollst, überprüfe vorher, ob die Voraussetzung für das Vorhandensein eines Schnittpunktes erfüllt ist. Nur wenn die beiden Funktionsgleichungen eine unterschiedliche Steigung besitzen, lohnt es sich, mit dem Rechnen überhaupt zu beginnen.

Wenn die Voraussetzung erfüllt ist, läuft die Suche nach dem Schnittpunkt folgendermaßen ab

Vorgehensweise

  1. Funktionsgleichungen gleichsetzen
  2. Gleichung nach \(x\) auflösen
  3. \(x\) in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen,
    um \(y\) zu berechnen

Beispiel 1

Gegeben sind zwei Funktionsgleichungen

\[y = \frac{1}{2}x - 1\]

\[y = -2x - 6\]

Gesucht ist der Schnittpunkt der beiden Geraden.

Übrigens: Bei diesen beiden Funktionsgleichungen handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem. Zur Lösung des linearen Gleichungssystem verwenden wir im Folgenden das Gleichsetzungsverfahren.

1.) Funktionsgleichungen gleichsetzen

\(y = y\)

bzw.

\[\frac{1}{2}x - 1 = -2x - 6\]

2.) Gleichung nach \(x\) auflösen (> Äquivalenzumformungen)

\[\frac{1}{2}x - 1 = -2x - 6 \qquad |{\color{red}+2x}\]

\[\frac{1}{2}x {\color{red}\: + \: 2x} - 1 = -2x {\color{red}\: + \: 2x} - 6\]

\[2,5x - 1 = - 6 \qquad |{\color{orange}+1}\]

\[2,5x - 1 {\color{orange}\: + \: 1} = - 6 {\color{orange}\: + \: 1}\]

\[2,5x = -5 \qquad |{\color{red}:2,5}\]

\[\frac{2,5x}{{\color{red}2,5}} = \frac{-5}{{\color{red}2,5}}\]

\[x = {\colorbox{yellow}{\(-2\)}}\]

3.) \(x\) in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um \(y\) zu berechnen

Unabhängig davon, in welche der beiden Gleichungen wir den berechneten \(x\)-Wert einsetzen, erhalten wir für \(y\) dasselbe Ergebnis.

Wir setzen \(x = -2\) in die erste Gleichung ein

\[y = \frac{1}{2}x - 1\]

\[y = \frac{1}{2} \cdot (-2) - 1 = {\colorbox{orange}{\(-2\)}}\]

Ergebnis

Die beiden Geraden

\[y = \frac{1}{2}x - 1\]

\[y = -2x - 6\]

schneiden sich im Punkt \(S({\colorbox{yellow}{\(-2\)}}|{\colorbox{orange}{\(-2\)}})\).

Im Koordinatensystem
sind die beiden Geraden \[g:~~y = \frac{1}{2}x-1\] \[h:~~y = -2x-6\] sowie ihr Schnittpunkt

\(S(-2|-2)\)

eingezeichnet.

Beispiel 2

\(y = -3x + 3\)

\(y = 3x - 9\)

1.) Funktionsgleichungen gleichsetzen

\(y = y\)

bzw.

\(-3x + 3 = 3x - 9\)

2.) Gleichung nach \(x\) auflösen (> Äquivalenzumformungen)

\(-3x + 3 = 3x - 9 \qquad |{\color{red}-3x}\)

\(-3x {\color{red}\: - \: 3x} + 3 = 3x {\color{red}\: - \: 3x} - 9\)

\(-6x + 3 = - 9 \qquad |{\color{orange}-3}\)

\(-6x + 3 {\color{orange}\: - \: 3} = - 9 {\color{orange}\: - \: 3}\)

\(-6x = -12 \qquad |{\color{red}:(-6)}\)

\(\frac{-6x}{{\color{red}-6}} = \frac{-12}{{\color{red}-6}}\)

\(x = {\colorbox{yellow}{\(2\)}}\)

3.) \(x\) in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um \(y\) zu berechnen

Unabhängig davon, in welche der beiden Gleichungen wir den berechneten \(x\)-Wert einsetzen, erhalten wir für \(y\) dasselbe Ergebnis.

Wir setzen \(x = 2\) in die zweite Gleichung ein

\(y = 3 \cdot 2 - 9 = {\colorbox{orange}{\(-3\)}}\)

Ergebnis

Die beiden Geraden

\(y = -3x + 3\)

\(y = 3x - 9\)

schneiden sich im Punkt \(S({\colorbox{yellow}{\(2\)}}|{\colorbox{orange}{\(-3\)}})\).


Im Koordinatensystem
sind die beiden Geraden

\(g:~~y = -3x + 3\)
\(h:~~y = 3x - 9\)

sowie ihr Schnittpunkt

\(S(2|-3)\)

eingezeichnet.

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Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
Lineare Funktionen - Aufgaben [eBook zum Download]

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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