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Funktions­gleichung einer linearen Funktion

In diesem Kapitel lernen wir, die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ y = mx + n $$

heißt lineare Funktion.

Dabei ist $m$ die Steigung und $n$ der $y$-Achsenabschnitt.

In manchen Aufgaben ist die Funktionsgleichung gesucht. Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aufzustellen, brauchen wir die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $n$.

Beispiel 1 

Gegeben sei die Steigung $m = {\color{red}{-2}}$ und der $y$-Achsenabschnitt $n = {\color{blue}{3}}$ einer linearen Funktion.

Stelle die Funktionsgleichung der linearen Funktion auf.

$$ y = {\color{red}{-2}}x + {\color{blue}{3}} $$

Leider lässt sich in den wenigsten Fällen die Funktionsgleichung so einfach aufstellen wie in dem obigen Beispiel. Meist ist entweder die Steigung, der $y$-Achsenabschnitt oder beides zu berechnen.

Punkt und Steigung gegeben 

$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt berechnen

Funktionsgleichung aufstellen

Beispiel 2 

Gegeben ist der Punkt $P(2|0)$ und die Steigung $m = \frac{1}{2}$.

$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt berechnen

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein

$$ y = mx + n $$

Für $m$ setzen wir die gegebene Steigung und für $x$ und $y$ die Koordinaten des gegebenen Punktes ein:

$$ 0 = \frac{1}{2} \cdot 2 + n $$

$$ 0 = 1 + n $$

$$ n = -1 $$

Funktionsgleichung aufstellen

Wir setzen $m = \frac{1}{2}$ und $n = -1$ in die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer linearen Funktionen ein und erhalten:

$$ \begin{align*} y &= mx + n \\[5px] &= \frac{1}{2}x - 1 \end{align*} $$

Punkt und y-Achsenabschnitt gegeben 

Steigung berechnen

Funktionsgleichung aufstellen

Beispiel 3 

Gegeben ist der Punkt $P(2|0)$ und der $y$-Achsenabschnitt $n = -1$.

Steigung berechnen

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein

$$ y = mx + n $$

Für $n$ setzen wir den gegebenen $y$-Achsenabschnitt und für $x$ und $y$ die Koordinaten des gegebenen Punktes ein:

$$ 0 = m \cdot 2 - 1 $$

$$ 1 = 2m $$

$$ m = \frac{1}{2} $$

Funktionsgleichung aufstellen

Wir setzen $m = \frac{1}{2}$ und $n = -1$ in die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer linearen Funktionen ein und erhalten:

$$ \begin{align*} y &= mx + n \\[5px] &= \frac{1}{2}x - 1 \end{align*} $$

Zwei Punkte gegeben 

Steigung berechnen

$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt berechnen

Funktionsgleichung aufstellen

Beispiel 4 

Gegeben sind die beiden Punkte

$$ P_1(-2|{-2}) $$

$$ P_2(2|0) $$

Im Folgenden schauen wir uns an, wie man die Funktionsgleichung für die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, bestimmt.

Steigung berechnen

Aus dem letzten Kapitel (Steigung einer linearen Funktion berechnen) kennen wir die Formel zur Berechnung der Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind:

$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Durch Einsetzen der gegebenen Punktkoordinaten erhalten wir:

$$ \begin{align*} m &= \frac{0 - (-2)}{2 - (-2)} \\[5px] &= \frac{2}{4} \\[5px] &= \frac{1}{2} \end{align*} $$

$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt berechnen

Wir wissen, dass die allgemeine Form einer linearen Funktion folgendermaßen aussieht:

$$ y = mx + n $$

Für $m$ setzen wir die eben berechnete Steigung und für $x$ und $y$ die Koordinaten eines der gegebenen Punkte (hier: $P_2(2|0)$) ein:

$$ 0 = \frac{1}{2}\cdot 2 + n $$

$$ 0 = 1 + n $$

$$ n = -1 $$

Alternativ können wir auch den anderen Punkt $P_1(-2|{-2})$ einsetzen, was zu demselben Ergebnis führt:

$$ -2 = \frac{1}{2}\cdot (-2) + n $$

$$ -2 = -1 + n $$

$$ n = -1 $$

Funktionsgleichung aufstellen

Wir setzen $m = \frac{1}{2}$ und $n = -1$ in die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer linearen Funktionen ein und erhalten:

$$ \begin{align*} y &= mx + n \\[5px] &= \frac{1}{2}x - 1 \end{align*} $$

Graph gegeben 

$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen

Steigung mithilfe eines Steigungsdreicks berechnen

Funktionsgleichung aufstellen

zu 2)

Hauptkapitel: Steigungsdreieck

Beispiel 5 

Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion.

Abb. 1 

$\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt ablesen

Der $y$-Achsenabschnitt ist die $y$-Koordinate des Schnittpunktes des Graphen mit der $y$-Achse.

Wir lesen ab: $n = -1$.

Jetzt fehlt nur noch die Steigung.

Abb. 2 

Steigung mithilfe eines Steigungsdreicks berechnen

Zunächst wählen wir zwei beliebige Punkte aus.

Abb. 3 

Mithilfe der beiden Punkte können wir ein Steigungsdreieck aufstellen:

Graphisch erhalten wir die erste Seite, indem wir in $x$-Richtung von $P_1$ bis $P_2$ gehen.

Rechnerisch erhalten wir die Seitenlänge, indem wir von der $x$-Koordinate des zweiten Punktes ($x_2$) die $x$-Koordinate des ersten Punktes ($x_1$) abziehen:

$$ x = x_2 - x_1 = 2 - (-2) = 4 $$

Abb. 4 

Graphisch erhalten wir die zweite Seite, indem wir in $y$-Richtung bis $P_2$ gehen.

Rechnerisch erhalten wir die zweite Seitenlänge, indem wir von der $y$-Koordinate des zweiten Punktes ($y_2$) die $y$-Koordinate des ersten Punktes ($y_1$) abziehen:

$$ y = y_2 - y_1 = 0 - (-2) = 2 $$

Abb. 5 

Für die Steigung der linearen Funktion gilt

$$ m = \frac{y}{x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

Mehr zur graphischen Ermittlung der Steigung erfährst du im vorhergehenden Kapitel (Steigung berechnen).

Abb. 6 

Funktionsgleichung aufstellen

Wir setzen $m = \frac{1}{2}$ und $n = -1$ in die allgemeine Form einer Funktionsgleichung einer linearen Funktionen ein und erhalten:

$$ \begin{align*} y &= mx + n \\[5px] &= \frac{1}{2}x - 1 \end{align*} $$

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