Ableitungsregeln
Um die Ableitung einer Funktion korrekt zu berechnen, muss man einige Ableitungsregeln kennen. Je nach Aussehen der Funktion, kommen dabei eine oder mehrere der nachfolgenden Regeln zum Einsatz.
Ableitung einer Konstanten
$$ f(x) = C \text{ mit } C \in \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad f'(x) = 0 $$
Die Ableitung einer Konstanten ist Null.
Ableitung von x
$$ f(x) = x \quad \rightarrow \quad f'(x) = 1 $$
Die Ableitung von $x$ ist $1$.
Potenzregel
Für Potenzfunktionen gilt:
$$ f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1} $$
$$ f(x) = x^3 $$
$$ \begin{align*} f'(x) &= 3 \cdot x^{3-1} \\[5px] &= 3 \cdot x^2 \end{align*} $$
$$ f(x) = x^{-5} $$
$$ \begin{align*} f'(x) &= -5 \cdot x^{-5-1} \\[5px] &= -5 \cdot x^{-6} \end{align*} $$
Faktorregel
$$ f(x) = c \cdot g(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x) $$
Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten unverändert erhalten.
$$ f(x) = 2 \cdot x^3 $$
$$ \begin{align*} f'(x) &= 2 \cdot \left(3 \cdot x^{3-1}\right) \\[5px] &= 6 \cdot x^2 \end{align*} $$
$$ f(x) = - 4 \cdot x^{-5} $$
$$ \begin{align*} f'(x) &= -4 \cdot \left(-5 \cdot x^{-5-1}\right) \\[5px] &= 20 \cdot x^{-6} \end{align*} $$
Summenregel
$$ f(x) = g(x) + h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) + h'(x) $$
Eine Summe von Funktionen wird abgeleitet, indem man jede Funktion für sich ableitet und die Ableitungen addiert.
Differenzregel
$$ f(x) = g(x) - h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) - h'(x) $$
Eine Differenz von Funktionen wird abgeleitet, indem man jede Funktion für sich ableitet und die Ableitungen subtrahiert.
Produktregel
Für Produkte von Funktionen gilt:
$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $$
Daraus ergibt sich folgendes Vorgehen:
Faktoren der Produktfunktion einzeln ableiten
Produktfunktion ableiten
Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis berechnen
$$ f(x) = x^3 \cdot x^5 $$
Faktoren der Produktfunktion einzeln ableiten
Die Ableitungen der Faktoren der Produktfunktion $f(x) = x^3 \cdot x^5$ sind
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = x^3$ | $$g'(x) = {\color{red}3x^2}$$ |
$h(x) = x^5$ | $$h'(x) = {\color{red}5x^4}$$ |
Produktfunktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = {\color{red}3x^2} \cdot x^5 + x^3 \cdot {\color{red}5x^4} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = 8x^7 $$
Anmerkung
Man könnte in diesem Fall den Funktionsterm vor dem Ableiten mithilfe der Potenzgesetze vereinfachen und sich so die Arbeit mit der Produktregel sparen. Zum Erlernen der Produktregel eignet sich dieses einfache Beispiel jedoch hervorragend.
Quotientenregel
Für Quotienten von Funktionen gilt:
$$ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2} $$
Daraus ergibt sich folgendes Vorgehen:
Zähler und Nenner der Quotientenfunktion einzeln ableiten
Quotientenfunktion ableiten
Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis berechnen
$$ f(x) = \frac{x^3}{x^5} $$
Zähler und Nenner der Quotientenfunktion einzeln ableiten
Die Ableitung des Zählers/Nenners der Quotientenfunktion $f(x) = \frac{x^3}{x^5}$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = x^3$ | $$g'(x) = 3x^2$$ |
$h(x) = x^5$ | $$h'(x) = 5x^4$$ |
Quotientenfunktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = \frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = \frac{x^5 \cdot 3x^2 - x^3 \cdot 5x^4}{\left[x^5\right]^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{f'(x)} &=\frac{3x^7 - 5x^7}{x^{10}} \\[5px] &= \frac{-2x^7}{x^{10}} \\[5px] &= -2x^{-3} \end{align*} $$
Anmerkung
Man könnte in diesem Fall den Funktionsterm vor dem Ableiten mithilfe der Potenzgesetze vereinfachen und sich so die Arbeit mit der Quotientenregel sparen. Zum Erlernen der Quotientenregel eignet sich dieses einfache Beispiel jedoch hervorragend.
Kettenregel
Für Verkettungen von Funktionen gilt:
$$ f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Die Multiplikation mit $h'(x)$ wird als nachdifferenzieren
bezeichnet.
Symbolverzeichnis
$g(x)$: Äußere Funktion$g'(x)$: Äußere Ableitung$h(x)$: Innere Funktion$h'(x)$: Innere Ableitung
Daraus ergibt sich folgendes Vorgehen:
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis berechnen
$$ f(x) = \left(x^4+5\right)^2 $$
Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten
Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \left(x^4+5\right)^2$ ist
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = x^2$ | $$g'(x) = 2x$$ |
$h(x) = x^4 + 5$ | $$h'(x) = 4x^3$$ |
Verkettete Funktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = 2\left(x^4+5\right) \cdot 4x^3 $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = 8x^3\left(x^4+5\right) $$
Anmerkung
Man könnte in diesem Fall den Funktionsterm vor dem Ableiten mithilfe der Potenzgesetze vereinfachen und sich so die Arbeit mit der Kettenregel sparen. Zum Erlernen der Kettenregel eignet sich dieses einfache Beispiel jedoch hervorragend.
Ableitung besonderer Funktionen
Es gibt einige besondere Funktionen, deren Ableitungen häufig gefragt sind:
| Funktion | Ableitung | |
|---|---|---|
| Ableitung Potenzfunktion | $f(x) = x^n$ | $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ |
| Ableitung Wurzel | $f(x) = \sqrt{x}$ | $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| Ableitung e-Funktion | $f(x) = e^x$ | $f'(x) = e^x$ |
| Ableitung Logarithmus | $f(x) = \ln(x)$ | $f'(x) = \frac{1}{x}$ |
| Ableitung Sinus | $f(x) = \sin x$ | $f'(x) = \cos x$ |
| Ableitung Cosinus | $f(x) = \cos x$ | $f'(x) = -\sin x$ |
| Ableitung Tangens | $f(x) = \tan x$ | $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ |
Die oben genannten Ableitungsregeln gelten für alle Funktionen gleichermaßen.
