Kubische Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter kubischen Gleichungen versteht.

Um dieses Thema zu begreifen, solltest du bereits wissen, was eine Gleichung ist.

Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung dritten Grades, d.h. die Variable \(x\) kommt in keiner höheren als der dritten Potenz vor.

Beispiele für kubische Gleichungen

\(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5 = 0\)

\(6x^3 = 3 - 8x\)

\(4 (x^2-3x) = x^3+5\)

Die einfachste Form einer kubischen Gleichung lautet allgemein:

\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)

Dabei sind \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) reelle Zahlen. \(x\) ist die Variable.

Jede kubische Gleichung lässt sich durch äquivalente Umformungen in diese Form überführen.

Kubische Gleichungen lösen

Eine Gleichung zu lösen bedeutet, diejenigen \(x\)-Werte herauszufinden, für die die Gleichung erfüllt ist.

Beispiel

Gegeben ist die kubische Gleichung

\(2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 = 0\)

Wir setzen nacheinander die Werte -2, -1, 0 und 1 für \(x\) ein und analysieren, was passiert.

  • Einsetzen von \(x = -2\):
    \(2\cdot(-2)^3 + 4\cdot (-2)^2 - 2\cdot(-2) - 4 = -16 + 16 + 4 - 4 = 0\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert -2 ein, ist die Gleichung erfüllt.

  • Einsetzen von \(x = -1\):
    \(2\cdot(-1)^3 + 4\cdot (-1)^2 - 2\cdot(-1) - 4 = -2 + 4 + 2 - 4 = 0\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert -1 ein, ist die Gleichung erfüllt.

  • Einsetzen von \(x = 0\):
    \(2\cdot 0^3 + 4\cdot 0^2 - 2\cdot 0 - 4 = 0 + 0 - 0 - 4 = -4\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert 0 ein, ist die Gleichung nicht erfüllt.

  • Einsetzen von \(x = 1\):
    \(2\cdot 1^3 + 4\cdot 1^2 - 2\cdot 1 - 4 = 2 + 4 - 2 - 4 = 0\)
    Setzen wir für \(x\) den Wert 1 ein, ist die Gleichung erfüllt.

Wenn du eine "Gleichung lösen" sollst, geht es letztlich um die Frage:
"Welche Zahl(en) muss ich für \(x\) einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist?"
Die Antwort auf diese Frage ist die Lösung der Gleichung.

In unserem Beispiel heißen die Lösungen folglich: \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 1\).

Lösungsverfahren

Im obigen Beispiel haben wir die Lösungen quasi durch Ausprobieren herausgefunden. Einfacher und schneller geht es jedoch, wenn man folgendes Lösungsverfahren einsetzt:

  1. Finde durch "Raten" eine Nullstelle

  2. Transformiere die kubische Gleichung in eine quadratische Gleichung
    (mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas)

  3. Löse die quadratische Gleichung
    (mit Hilfe der Mitternachtsformel, pq-Formel oder mit dem Satz von Vieta)

Zu diesem Verfahren findest du auf unserer Website einen ausführlichen Artikel mit zahlreichen Beispielen (> Kubische Gleichungen lösen).

Mehr zum Thema Gleichungen

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle derzeit verfügbaren Artikel zum Thema Gleichungen.

Einleitung  
Gleichungen Was versteht man unter einer Gleichung?
Arten von Gleichungen  
Lineare Gleichungen \(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\)
Kubische Gleichungen \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
Bruchgleichungen  
Gleichungen lösen Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Kubische Gleichungen lösen
Bruchgleichungen lösen

In einigen Fällen hilft auch der Satz vom Nullprodukt beim Lösen von Gleichungen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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