Äquivalenzumformung

In diesem Kapitel besprechen wir die Äquivalenzumformungen. Diese spielen im Zusammenhang mit dem Lösen von Gleichungen eine große Rolle.

In der Mathematik muss man oft Gleichungen lösen. Doch wie funktioniert das? Eine Antwort auf diese Fragen geben uns die sog. "Äquivalenzumformungen". Mit Hilfe dieser äquivalenten (gleichwertigen) Umformungen ist es möglich, eine gegebene Gleichung in eine Gleichung zu überführen, die die gleiche Lösungsmenge wie die Ausgangsgleichung besitzt, aber einfacher zu lösen ist.

Eine Gleichung kannst du dir wie eine Waage im Gleichgewicht vorstellen.

Was bedeutet dann die Gleichung \(10 = 10\)?

In der linken Waagschale (links vom Gleichheitszeichen) befinden sich zehn 1kg Stücke und in der rechten Waagschale (rechts vom Gleichheitszeichen) befinden sich ebenfalls zehn 1kg Stücke.

...und was ist mit der Gleichung \(x + 5 = 10\)?

Bei \(x\) handelt es sich um eine Unbekannte. Uns interessiert, wie groß das \(x\) sein muss, damit sich beide Waagschalen im Gleichgewicht befinden. Wie könnten wir das anstellen? Mathematisch formuliert wollen wir "die Gleichung nach \(x\) auflösen." Dazu nehmen wir von der linken Waagschale so viele Gewichtsstücke weg, dass sich dort nur noch unsere Unbekannte \(x\) befindet. Damit die Waage nicht aus dem Gleichgewicht gerät (das wollen wir auf keinen Fall!), müssen wir auf der rechten Seite genauso viele Gewichtsstücke wegnehmen wie auf der linken Seite. Das "Wegnehmen von Gewichtsstücken" gehört zu den Äquivalenzumformungen, da zwar die Gleichung umgeformt, nicht jedoch die Lösung verändert wird. Insgesamt gibt es vier Äquivalenzformungen (= Möglichkeiten die Gewichte auf beiden Seiten der Waage zu verändern, ohne das sich die Lösung ändert, d.h. ohne das die Waage aus dem Gleichgewicht gerät).

Im Folgenden werden die vier Äquivalenzumformungen erläutert. Wichtig ist darauf zu achten, dass die zulässigen Rechenoperationen gleichzeitig auf beiden Seiten (d.h. sowohl links als auch rechts vom Gleichheitszeichen) der Gleichung durchgeführt werden. Nur auf diese Weise bleibt die Lösungsmenge auch wirklich erhalten.

Grundregeln für äquivalente Umformungen

Addition einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung

Stell dir eine Waage vor, in deren Waagschalen du gleich viele Gewichte dazulegst.

Allgemein
\(\begin{align*}
x - a &= b \qquad \quad|{\color{red}{\: + \: a}} \\
x \underbrace{\: - \: a {\color{red}{\: + \: a}}}_{= \: 0} &= b {\color{red}{\: + \: a}} \\
x &= b + a
\end{align*}\)

Beispiel
\(\begin{align*}
x - 5 &= 10 \qquad \quad|{\color{red}{\: + \: 5}} \\
x \underbrace{\: - \: 5 {\color{red}{\: + \: 5}}}_{= \: 0} &= 10 {\color{red}{\: + \: 5}} \\
x &= 15
\end{align*}\)

Subtraktion einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung

Stell dir eine Waage vor, aus deren Waagschalen du gleich viele Gewichte wegnimmst.

Allgemein
\(\begin{align*}
x + a &= b \qquad \quad|{\color{red}{\: - \: a}} \\
x \underbrace{\: + \: a {\color{red}{\: - \: a}}}_{= \: 0} &= b {\color{red}{\: - \: a}} \\
x &= b - a
\end{align*}\)

Beispiel
\(\begin{align*}
x + 3 &= 8 \qquad \quad|{\color{red}{\: - \: 3}} \\
x \underbrace{\: + \: 3 {\color{red}{\: - \: 3}}}_{= \: 0} &= 8 {\color{red}{\: - \: 3}} \\
x &= 5
\end{align*}\)

Multiplikation beider Seiten einer Gleichung
mit der gleichen Zahl (\(a \neq 0\))

Stell dir eine Waage vor, bei der du die Gewichte in beiden Waagschalen um denselben Faktor vervielfachst.

Allgemein
\(\begin{align*}
\frac{x}{a} &= b \qquad \quad|{\color{red}{\: \cdot \: a}} \\
\frac{x}{a} {\color{red}{\: \cdot \: a}} &= b {\color{red}{\: \cdot \: a}} \\
\frac{x}{\bcancel{a}} {\color{red}{\: \cdot \: \bcancel{a}}} &= b {\color{red}{\: \cdot \: a}} \qquad|\text{ Kürzen!} \\
x &= b \cdot a
\end{align*}\)

Beispiel
\(\begin{align*}
\frac{x}{7} &= 2 \qquad \quad|{\color{red}{\: \cdot \: 7}} \\
\frac{x}{7} {\color{red}{\: \cdot \: 7}} &= 2 {\color{red}{\: \cdot \: 7}} \\
\frac{x}{\bcancel{7}} {\color{red}{\: \cdot \: \bcancel{7}}} &= 2 {\color{red}{\: \cdot \: 7}} \qquad|\text{ Kürzen!} \\
x &= 14
\end{align*}\)

Division beider Seiten einer Gleichung
durch die gleiche Zahl (\(a \neq 0\))

Stell dir eine Waage vor, bei der du die Gewichte in beiden Waagschalen durch denselben Wert teilst.

Allgemein
\(\begin{align*}
a \cdot x &= b \qquad \quad|{\color{red}{\: : \: a}} \\
\frac{a \cdot x}{{\color{red}{a}}} &= \frac{b}{{\color{red}{a}}}\\
\frac{\bcancel{a} \cdot x}{\bcancel{{\color{red}{a}}}} &= \frac{b}{{\color{red}{a}}} \qquad \quad|\text{ Kürzen!}\\
x &= \frac{b}{a}
\end{align*}\)

Beispiel
\(\begin{align*}
4 \cdot x &= 12 \qquad \quad|{\color{red}{\: : \: 4}} \\
\frac{4 \cdot x}{{\color{red}{4}}} &= \frac{12}{{\color{red}{4}}} \\
\frac{\bcancel{4} \cdot x}{\bcancel{{\color{red}{4}}}} &= \frac{12}{{\color{red}{4}}} \qquad \quad|\text{ Kürzen!} \\
x &= 3
\end{align*}\)

Mit Hilfe der Äquivalenzumformungen kannst du schnell und einfach Gleichungen lösen. Im nächsten Artikel lernst du, wie man mit Hilfe dieser äquivalenten Umformungen lineare Gleichungen berechnet.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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