Zusammengesetzter Dreisatz
In diesem Kapitel besprechen wir den zusammengesetzten Dreisatz.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Der Dreisatz ist ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben.
Wir kennen zwei Arten von Proportionalität:
- Direkte Proportionalität (Proportionale Zuordnung)
- Indirekte Proportionalität (Antiproportionale Zuordnung)
Anleitung
Die Bezeichnung Dreisatz
kommt daher, dass die Lösung in drei Schritten berechnet wird:
Bekannt: Welche Daten sind bekannt?
Folgerung: Was lässt sich über eine (!) Einheit der Größe sagen?
Schluss: Was lässt sich über die gesuchte Größe sagen?
Beim einfachen Dreisatz hat man es mit zwei Größen zu tun. Ein zusammengesetzter Dreisatz setzt sich aus mehreren einfachen Dreisätzen zusammen, weshalb mindestens drei Größen vorkommen.
Die folgende Tabelle zeigt einen Überblick über das Thema:
| Dreisatz | Anzahl an Größen | Welche Varianten gibt es? |
|---|---|---|
| Einfacher | 2 Größen | > gerader Dreisatz (= proportional) > ungerader Dreisatz (= antiproportional) |
| Zweifach verschachtelter | 3 Größen | > proportional-proportional > proportional-antiproportional > antiproportional-antiproportional |
| Dreifach verschachtelter | 4 Größen | > prop-prop-prop > prop-prop-antiprop > prop-antiprop-antiprop > antiprop-antiprop-antiprop |
| … | … | … |
Beim zweifachen Dreisatz muss man den 2. Schritt (Folgerung) und den 3. Schritt (Schluss) jeweils zweimal ausführen, beim dreifachen Dreisatz jeweils dreimal.
Beispiele
Ein $7\ \textrm{m}^2$ großes und $5\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $313{,}6\ \textrm{kg}$.
Wie viel wiegt ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $6\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech?
Vorüberlegungen
Es sind drei Größen gegeben: Größe
, Dicke
und Gewicht
.
Zwischen Größe
und Gewicht
besteht ein proportionaler Zusammenhang:
- Je mehr (Größe), desto mehr (Gewicht)
- Je weniger (Größe), desto weniger (Gewicht)
Zwischen Dicke
und Gewicht
besteht ein proportionaler Zusammenhang:
- Je mehr (Dicke), desto mehr (Gewicht)
- Je weniger (Dicke), desto weniger (Gewicht)
Welche Daten sind bekannt?
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & & 5 & & 313{,}6 & \end{array} $$
Ein $7\ \textrm{m}^2$ großes und $5\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $313{,}6\ \textrm{kg}$.
Folgerung
Wie viel wiegt $1\ \textrm{m}^2$?
Je weniger (Fläche), desto weniger (Gewicht) $\Rightarrow$ Division
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & :{\color{red}7} & 5 & & 313{,}6 & :{\color{red}7} \\ 1 & & 5 & & \frac{313{,}6}{{\color{red}7}} & \end{array} $$
Ein $1\ \textrm{m}^2$ großes und $5\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $\frac{313{,}6}{{\color{red}7}}\ \textrm{kg}$.
Wie viel wiegt ein $1\ \textrm{m}^2$ großes und $1\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech?
Je weniger (Dicke), desto weniger (Gewicht) $\Rightarrow$ Division
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & :7 & 5 & & 313{,}6 & :7 \\ 1 & & 5 & :{\color{red}5} & \frac{313{,}6}{7} & :{\color{red}5} \\ 1 & & 1 & & \frac{313{,}6}{{\color{red}5} \cdot 7} & \\ \end{array} $$
Ein $1\ \textrm{m}^2$ großes und $1\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $\frac{313{,}6}{{\color{red}5} \cdot 7}\ \textrm{kg}$.
Schluss
Wie viel wiegt ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $1\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech?
Je mehr (Fläche), desto mehr (Gewicht) $\Rightarrow$ Multiplikation
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & :7 & 5 & & 313{,}6 & :7 \\ 1 & & 5 & :5 & \frac{313{,}6}{7} & :5 \\ 1 & \cdot {\color{green}4} & 1 & & \frac{313{,}6}{5 \cdot 7} & \cdot {\color{green}4} \\ 4 & & 1 & & \frac{{\color{green}4} \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7} & \end{array} $$
Ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $1\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $\frac{{\color{green}4} \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7}\ \textrm{kg}$.
Wie viel wiegt ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $6\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech?
Je mehr (Dicke), desto mehr (Gewicht) $\Rightarrow$ Multiplikation
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Größe (m²)} & & \text{Dicke (mm)} & & \text{Gewicht (kg)} & \\ \hline 7 & :7 & 5 & & 313{,}6 & :7 \\ 1 & & 5 & :5 & \frac{313{,}6}{7} & :5 \\ 1 & \cdot 4 & 1 & & \frac{313{,}6}{5 \cdot 7} & \cdot 4 \\ 4 & & 1 & \cdot {\color{green}6} & \frac{4 \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7} & \cdot {\color{green}6} \\ 4 & & 6 & & \frac{{\color{green}6} \cdot 4 \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7} & \end{array} $$
Ein $4\ \textrm{m}^2$ großes und $6\ \textrm{mm}$ dickes Kupferblech wiegt $\frac{{\color{green}6} \cdot 4 \cdot 313{,}6}{5 \cdot 7}\ \textrm{kg} \approx 215\ \textrm{kg}$.
$4$ Arbeiter pflastern $25\ \textrm{m}^2$ Fläche in $12$ Stunden.
Wie lange brauchen $5$ Arbeiter für $40\ \textrm{m}^2$ Fläche?
Vorüberlegungen
Es sind drei Größen gegeben: Arbeiter
, Fläche
und Stunden
.
Zwischen Arbeiter
und Stunden
besteht ein antiproportionaler Zusammenhang:
- Je mehr Arbeiter, desto weniger Stunden werden benötigt
- Je weniger Arbeiter, desto mehr Stunden werden benötigt
Zwischen Fläche
und Stunden
besteht ein proportionaler Zusammenhang:
- Je mehr Fläche, desto mehr Stunden werden benötigt
- Je weniger Fläche, desto weniger Stunden werden benötigt
Welche Daten sind bekannt?
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & & 25 & & 12 & \end{array} $$
$4$ Arbeiter pflastern $25\ \textrm{m}^2$ Fläche in $12$ Stunden.
Folgerung
Wie lange braucht $1$ Arbeiter?
Je weniger (Arbeiter), desto mehr (Stunden) $\Rightarrow$ Multiplikation
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & :{\color{red}4} & 25 & & 12 & \cdot {\color{green}4} \\ 1 & & 25 & & {\color{green}4} \cdot 12 & \end{array} $$
$1$ Arbeiter pflastert $25\ \textrm{m}^2$ Fläche in ${\color{green}4} \cdot 12$ Stunden.
Wie lange braucht $1$ Arbeiter für $1\ \textrm{m}^2$?
Je weniger (Fläche), desto weniger (Stunden) $\Rightarrow$ Division
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & :4 & 25 & & 12 & \cdot 4 \\ 1 & & 25 & :{\color{red}25} & 4 \cdot 12 & :{\color{red}25} \\ 1 & & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{{\color{red}25}} & \end{array} $$
$1$ Arbeiter pflastert $1\ \textrm{m}^2$ Fläche in $\frac{4 \cdot 12}{{\color{red}25}}$ Stunden.
Schluss
Wie lange brauchen $5$ Arbeiter für $1\ \textrm{m}^2$?
Je mehr (Arbeiter), desto weniger (Stunden) $\Rightarrow$ Division
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & :4 & 25 & & 12 & \cdot 4 \\ 1 & & 25 & :25 & 4 \cdot 12 & :25 \\ 1 & \cdot {\color{green}5} & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{25} & :{\color{red}5} \\ 5 & & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{{\color{red}5} \cdot 25} & \end{array} $$
$5$ Arbeiter pflastern $1\ \textrm{m}^2$ Fläche in $\frac{4 \cdot 12}{{\color{red}5} \cdot 25}$ Stunden.
Wie lange brauchen $5$ Arbeiter für $40\ \textrm{m}^2$?
Je mehr (Fläche), desto mehr (Stunden) $\Rightarrow$ Multiplikation
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Arbeiter} & & \text{Fläche} & & \text{Stunden} & \\ \hline 4 & :4 & 25 & & 12 & \cdot 4 \\ 1 & & 25 & :25 & 4 \cdot 12 & :25 \\ 1 & \cdot 5 & 1 & & \frac{4 \cdot 12}{25} & :5 \\ 5 & & 1 & \cdot {\color{green}40} & \frac{4 \cdot 12}{5 \cdot 25} & \cdot {\color{green}40} \\ 5 & & 40 & & \frac{{\color{green}40} \cdot 4 \cdot 12}{5 \cdot 25} & \\ \end{array} $$
$5$ Arbeiter pflastern $40\ \textrm{m}^2$ Fläche in $\frac{{\color{green}40} \cdot 4 \cdot 12}{5 \cdot 25} = 15{,}36$ Stunden – also in ca. 15 Stunden und 22 Minuten.
Anmerkungen
Es spielt keine Rolle, bei welcher der beiden Größen man zuerst auf eine Einheit folgert (2. Schritt). Es ist auch egal, bei welcher der beiden Größen man zuerst auf die gesuchte Größe schließt (3. Schritt). Folglich gibt es verschiedene Reihenfolgen, die alle zum demselben Ergebnis führen.
Unter Umständen ist es sinnvoll, als Übergangswert im 2. Schritt statt $1$ den größten gemeinsamen Teiler zu verwenden. Wie das funktioniert, erfährst du im Hauptkapitel Dreisatz.
