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Zinseszins­rechnung

In diesem Kapitel schauen wir uns die Grundlagen der Zinseszinsrechnung an.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Die Zinseszinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung.

Zinsen spielen hauptsächlich beim Leihen und Verleihen von Geld eine Rolle.

Beispiel 1 

Derjenige, der sich Geld leiht (der Schuldner), zahlt Zinsen.

Beispiel 2 

Derjenige, der Geld verleiht (der Gläubiger), bekommt Zinsen.

Die beliebteste Form der Geldanlage in Deutschland ist das Sparbuch. Das funktioniert so: Du leihst der Bank dein gespartes Geld. Die Bank zahlt dir dafür am Jahresende Zinsen. Wenn du die Zinsen auf deinem Sparbuch lässt, zahlt die Bank dafür später auch Zinsen.

Die Zinsen auf Zinsen heißen Zinseszinsen.

Beispiel 3 

Du legst $100\ \textrm{€}$ bei einem Zinssatz von $10\ \%$ für $3$ Jahre fest an.

$$ \begin{align*} K_1 &= K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \\[5px] &= 1000 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 1000 \cdot 1{,}1 \\[5px] &= 1100 \end{align*} $$

Nach einem Jahr hast du $1100\ \textrm{€}$ auf dem Sparbuch.

$$ \begin{align*} K_2 &= K_1 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \\[5px] &= 1100 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 1100 \cdot 1{,}1 \\[5px] &= 1210 \end{align*} $$

Nach zwei Jahren hast du $1210\ \textrm{€}$ auf dem Sparbuch.

$$ \begin{align*} K_3 &= K_2 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \\[5px] &= 1210 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) \\[5px] &= 1210 \cdot 1{,}1 \\[5px] &= 1331 \end{align*} $$

Nach drei Jahren hast du $1331\ \textrm{€}$ auf dem Sparbuch.

Zinsen pro Jahr

Zinsen für das 1. Jahr = $100\ \textrm{€}$

Zinsen für das 2. Jahr = $110\ \textrm{€}$

Zinsen für das 3. Jahr = $121\ \textrm{€}$

Das Beispiel hat gezeigt:

Durch den sog. Zinseszinseffekt steigen die Zinsen exponentiell.

Zinseszinsformel 

Das Kapital $K_n$, das man nach $n$ Jahren hat, lässt sich auch direkt berechnen:

$$ K_1 = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) $$

$$ K_2 = \underbrace{K_1}_{K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 $$

$$ K_3 = \underbrace{K_2}_{K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3 $$

Daraus folgt:

Zinseszinsformel

$$ K_n = K_0 \cdot {\underbrace{\left(1 + \frac{p}{100}\right)}_{q}}^n $$

Die Zinseszinsrechnung ist eine Anwendung der prozentualen Zunahme.

Begriff in der ZinseszinsrechnungBegriff in der Prozentrechnung
Endkapital $K_n$Endwert $G_{neu+}$
Anfangskapital $K_0$Anfangswert $G$
Aufzinsungsfaktor $q$Wachstumsfaktor $q$
$\Rightarrow K_n = K_0 \cdot q^n$$\Rightarrow G_{neu+} = G \cdot q^n$

Im Kapitel zur Zinseszinsformel schauen wir uns das Thema noch genauer an.

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