Zeilenstufenform
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Zeilenstufenform einer Matrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Wichtige Begriffe
Eine Zeile, in der nur Nullen stehen, heißt Nullzeile.
Eine Zeile, in der nicht nur Nullen stehen, heißt Nichtnullzeile.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Die ersten beiden Zeilen sind Nichtnullzeilen.
Die 3. Zeile ist eine Nullzeile.
Das erste von Null verschiedene Element einer Nichtnullzeile heißt Zeilenführer dieser Zeile.
$$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 2 & 3 & 4 \\ 0 & {\color{red}6} & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\color{red}7} & 8 & 1 \\ 0 & 0 & {\color{red}3} & 3 \end{pmatrix} $$
Die Zeilenführer sind rot markiert.
Definition
Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, falls gilt:
- Alle Nichtnullzeilen stehen oberhalb aller Nullzeilen.
- Ein Zeilenführer steht stets in einer Spalte rechts vom Zeilenführer der Zeile darüber.
- Alle Einträge unterhalb des Zeilenführers sind Null.
Charakteristisch für die Zeilenstufenform ist, dass die Zeilenführer wie Treppenstufen angeordnet sind – also nach unten wandern. Demnach kann in einer Spalte maximal ein Zeilenführer auftreten.
$$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 2 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & {\color{red}6} & 7 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{red}5} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{red}7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Matrix in Zeilenstufenform umwandeln
Jede beliebige Matrix kann in Zeilenstufenform umgewandelt werden.
Um eine Matrix in Zeilenstufenform umzuwandeln, verwenden wir den Gauß-Algorithmus.
Wandle die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} $$
in Zeilenstufenform um.
$$ \begin{array}{rrr|l} 2 & -1 & 0 & \\ -2 & 2 & -2 & \textrm{II} + \textrm{I} \\ 2 & -1 & 0 & \textrm{III} - \textrm{I} \\ \hline {\color{red}2} & -1 & 0 & \\ 0 & {\color{red}1} & -2 & \\ 0 & 0 & 0 & \end{array} $$
Wandle die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$
in Zeilenstufenform um.
$$ \begin{array}{rrr|l} 1 & -1 & 2 & \\ -2 & 1 & -6 & \textrm{II} + 2 \cdot \textrm{I} \\ 1 & 0 & -2 & \textrm{III} - \textrm{I} \\ \hline 1 & -1 & 2 & \\ 0 & -1 & -2 & \\ 0 & 1 & -4 & \textrm{III} + \textrm{II} \\ \hline {\color{red}1} & -1 & 2 & \\ 0 & {\color{red}-1} & -2 & \\ 0 & 0 & {\color{red}-6} & \end{array} $$
Anwendung
Liegt eine Matrix in Zeilenstufenform vor, kann man den Rang der Matrix ablesen.
