Wurzelgleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Wurzelgleichungen sind und wie man sie löst.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Gleichung?
Definition
Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable (auch) unter einer Wurzel vorkommt.
Zur Erinnerung: Eine Wurzel $\sqrt[n]{x}$ ist nur für $x \geq 0$ definiert.
Wurzelgleichungen lösen
Wurzeln beseitigen
Wurzel isolieren
Potenzieren
Algebraische Gleichung lösen
Probe machen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 1.1)
Wurzel isolieren = Gleichung so umformen, dass die Wurzel allein auf einer Seite steht
zu 1.2)
Um die Wurzel $\sqrt[n]{x}$ zu beseitigen, müssen wir sie mit dem Wurzelexponenten $n$ potenzieren.
Das Potenzieren mit 2, um eine Quadratwurzel $\sqrt{x}$ zu beseitigen, heißt auch Quadrieren
.
zu 2)
Ziel des Potenzierens aus Schritt 1.2 ist es, die Wurzelgleichung in eine algebraische Gleichung (z. B. lineare Gleichung, quadratische Gleichung oder kubische Gleichung) zu überführen. Diese Gleichung können wir dann mit den bekannten Methoden lösen.
zu 3)
Das Potenzieren aus Schritt 1.2 ist i. Allg. keine Äquivalenzumformung: Durch das Potenzieren können Lösungen (sog. Scheinlösungen) hinzukommen, es gehen aber keine verloren.
Um Scheinlösungen auszusortieren, machen wir die Probe, d. h., wir setzen die möglichen Lösungen in die Ausgangsgleichung ein. Nur die Lösungen, die zu einer wahren Aussage führen, gehören auch wirklich zur Lösung der Wurzelgleichung.
Löse $\sqrt{x + 1} - 2 = 0$.
Wurzeln beseitigen
Wurzel isolieren
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 1} - 2 &= 0 &&{\color{gray}|\, +2} \\[5px] \sqrt{x + 1} &= 2 \end{align*} $$
Potenzieren
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 1} &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}} \\[5px] \sqrt{x + 1}^2 &= 2^2 \\[5px] x + 1 &= 4 \end{align*} $$
Algebraische Gleichung lösen
$$ \begin{align*} x + 1 &= 4 &&{\color{gray}|\, -1} \\[5px] x &= 3 \end{align*} $$
Probe machen
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 1} &= 2 &&{\color{gray}|\, x = 3} \\[5px] \sqrt{{\color{red}3} + 1} &= 2 \\[5px] \sqrt{4} &= 2 \\[5px] 2 &= 2 &&{\color{green}\phantom{|}\text{ Wahre Aussage!}} \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{3\} $$
Löse $\sqrt{x + 1} + 2 = 0$.
Wurzeln beseitigen
Wurzel isolieren
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 1} + 2 &= 0 &&{\color{gray}|\, -2} \\[5px] \sqrt{x + 1} &= -2 \end{align*} $$
Bereits an dieser Stelle kann man erkennen, dass es keine Lösung gibt:
Der Wert einer Wurzel ist für jedes beliebige $x$ immer gleich oder größer $0$ und niemals $-2$.
Potenzieren
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 1} &= -2 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}} \\[5px] \sqrt{x + 1}^2 &= (-2)^2 \\[5px] x + 1 &= 4 \end{align*} $$
Algebraische Gleichung lösen
$$ \begin{align*} x + 1 &= 4 &&{\color{gray}|\, -1} \\[5px] x &= 3 \end{align*} $$
Probe machen
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 1} &= -2 &&{\color{gray}|\, x = 3} \\[5px] \sqrt{{\color{red}3} + 1} &= -2 \\[5px] \sqrt{4} &= -2 \\[5px] 2 &= -2 &&{\color{red}\phantom{|} \text{ Falsche Aussage!}} \end{align*} $$
$x = 3$ ist offensichtlich nur eine Scheinlösung.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{\;\} $$
Es gibt Fälle, in denen Schritt 1 (Wurzel isolieren) und/oder Schritt 2 (Potenzieren) mehrmals ausgeführt werden müssen.
Löse $\sqrt{x + \sqrt{2x}} = 2$.
Wurzeln beseitigen
Wurzel isolieren
Die Wurzel ist bereits isoliert.
Potenzieren
$$ \begin{align*} \sqrt{x + \sqrt{2x}} &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}} \\[5px] \sqrt{x + \sqrt{2x}}^2 &= 2^2 \\[5px] x + \sqrt{2x} &= 4 \end{align*} $$
Wurzel isolieren
$$ \begin{align*} x + \sqrt{2x} &= 4 &&{\color{gray}|\, -x} \\[5px] \sqrt{2x} &= 4 - x \end{align*} $$
Potenzieren
$$ \begin{align*} \sqrt{2x} &= 4 - x &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}} \\[5px] \sqrt{2x}^2 &= (4 - x)^2 \\[5px] 2x &= 16 - 8x + x^2 \end{align*} $$
Algebraische Gleichung lösen
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} 2x &= 16 - 8x + x^2 &&{\color{gray}|\, -2x} \\[5px] 0 &= 16 - 10x + x^2 &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] 16 - 10x + x^2 &= 0 &&{\color{gray}| \text{ Nach Potenzen von $x$ sortieren}} \\[5px] x^2 - 10x + 16 &= 0 \end{align*} $$
Quadratische Gleichung mit der pq-Formel lösen
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2-16} \\[5px] &= -(-5) \pm \sqrt{\left(-5\right)^2-16} \\[5px] &= 5 \pm \sqrt{25-16} \\[5px] &= 5 \pm \sqrt{9} \\[5px] &= 5 \pm 3 \end{align*} $$
Daraus folgt
$$ x_1 = 5 - 3 = 2 $$
$$ x_2 = 5 + 3 = 8 $$
Probe machen
$$ \begin{align*} \sqrt{x + \sqrt{2x}} &= 2 &&{\color{gray}|\, x_1 = 2} \\[5px] \sqrt{{\color{red}2} + \sqrt{2 \cdot {\color{red}2}}} &= 2 \\[5px] \sqrt{2 + \sqrt{4}} &= 2 \\[5px] \sqrt{2 + 2} &= 2 \\[5px] \sqrt{4} &= 2 \\[5px] 2 &= 2 &&{\color{green}\phantom{|} \text{ Wahre Aussage!}} \end{align*} $$
$x_1 = 2$ gehört zur Lösung der Wurzelgleichung.
$$ \begin{align*} \sqrt{x + \sqrt{2x}} &= 2 &&{\color{gray}|\, x_2 = 8} \\[5px] \sqrt{{\color{red}8} + \sqrt{2 \cdot {\color{red}8}}} &= 2 \\[5px] \sqrt{8 + \sqrt{16}} &= 2 \\[5px] \sqrt{8 + 4} &= 2 \\[5px] \sqrt{12} &= 2 &&{\color{red}\phantom{|} \text{ Falsche Aussage!}} \end{align*} $$
$x_2 = 8$ ist offensichtlich nur eine Scheinlösung.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{2\} $$
Wenn zwei Wurzeln vorkommen, kann es einfacher sein, zunächst so umzuformen, dass eine der Wurzeln allein auf einer Seite steht.
Löse $\sqrt{x + 5} - \sqrt{2x + 3} = 1$.
Wurzeln beseitigen
Wurzel isolieren
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 5} - \sqrt{2x + 3} &= 1 &&{\color{gray}|\, +\sqrt{2x + 3}} \\[5px] \sqrt{x + 5} &= 1 + \sqrt{2x + 3} \end{align*} $$
Potenzieren
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 5} &= 1 + \sqrt{2x + 3} &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}} \\[5px] \sqrt{x + 5}^2 &= (1 + \sqrt{2x + 3})^2 \\[5px] x + 5 &= 1 + 2\sqrt{2x + 3} + 2x + 3 \end{align*} $$
Wurzel isolieren
$$ \begin{align*} x + 5 &= 1 + 2\sqrt{2x + 3} + 2x + 3 \\[5px] x + 5 &= 2\sqrt{2x + 3} + 2x + 4 &&{\color{gray}|\, -2\sqrt{2x + 3}} \\[5px] -2\sqrt{2x + 3} + x + 5 &= 2x + 4 &&{\color{gray}|\, -x} \\[5px] -2\sqrt{2x + 3} + 5 &= x + 4 &&{\color{gray}|\, -5} \\[5px] -2\sqrt{2x + 3} &= x - 1 &&{\color{gray}|\, \cdot(-1)} \\[5px] 2\sqrt{2x + 3} &= -x + 1 \end{align*} $$
Potenzieren
$$ \begin{align*} 2\sqrt{2x + 3} &= -x + 1 &&{\color{gray}| \text{ Quadrieren}} \\[5px] (2\sqrt{2x + 3})^2 &= (-x + 1)^2 \\[5px] 2^2 \cdot \sqrt{2x + 3}^2 &= (-x + 1)^2 \\[5px] 4(2x + 3) &= x^2 - 2x + 1 \end{align*} $$
Algebraische Gleichung lösen
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} 4(2x + 3) &= x^2 - 2x + 1 \\[5px] 8x + 12 &= x^2 - 2x + 1 &&{\color{gray}|\, -8x} \\[5px] 12 &= x^2 - 10x + 1 &&{\color{gray}|\, -12} \\[5px] 0 &= x^2 - 10x - 11 &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] x^2 - 10x - 11 &= 0 \end{align*} $$
Quadratische Gleichung mit der pq-Formel lösen
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2-(-11)} \\[5px] &= -(-5) \pm \sqrt{\left(-5\right)^2-(-11)} \\[5px] &= 5 \pm \sqrt{25+11} \\[5px] &= 5 \pm \sqrt{36} \\[5px] &= 5 \pm 6 \end{align*} $$
Daraus folgt
$$ x_1 = 5 - 6 = -1 $$
$$ x_2 = 5 + 6 = 11 $$
Probe machen
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 5} - \sqrt{2x + 3} &= 1 &&{\color{gray}|\, x_1 = -1} \\[5px] \sqrt{{\color{red}-1} + 5} - \sqrt{2 \cdot ({\color{red}-1}) + 3} &= 1 \\[5px] \sqrt{4} - \sqrt{1} &= 1 \\[5px] 2 - 1 &= 1 \\[5px] 1 &= 1 &&{\color{green}\phantom{|} \text{ Wahre Aussage!}} \end{align*} $$
$x_1 = -1$ gehört zur Lösung der Wurzelgleichung.
$$ \begin{align*} \sqrt{x + 5} - \sqrt{2x + 3} &= 1 &&{\color{gray}|\, x_2 = 11} \\[5px] \sqrt{{\color{red}11} + 5} - \sqrt{2 \cdot {\color{red}11} + 3} &= 1 \\[5px] \sqrt{16} - \sqrt{25} &= 1 \\[5px] 4 - 5 &= 1 \\[5px] -1 &= 1 &&{\color{red}\phantom{|} \text{ Falsche Aussage!}} \end{align*} $$
$x_2 = 11$ ist offensichtlich nur eine Scheinlösung.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-1\} $$
