Wendetangente berechnen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Wendetangente berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:
$$ f''(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f'''(x_0) \neq 0 $$
Definition
Eine Tangente durch einen Wendepunkt heißt Wendetangente.
Funktionsgleichung
Gleichung einer Wendetangente
$$ t_w\colon\; y = m \cdot (x - x_0) + y_0 $$
Symbolverzeichnis
$t_w$: Bezeichnung für die Wendetangente$x_0$und$y_0$: Koordinaten des Wendepunktes$m$: Tangentensteigung
Anleitung
Wendepunkt berechnen
Steigung der Tangente berechnen
Tangentengleichung aufstellen
zu 2)
Dazu setzen wir die $x$-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung ein.
Beispiele
Berechne die Wendetangente der Funktion $f(x) = x^3$.
Wendepunkt berechnen
Aus dem Kapitel Wendepunkt berechnen wissen wir, dass die Funktion $f(x) = x^3$ bei $(0|0)$ einen Wendepunkt hat.
Steigung der Tangente berechnen
$x$-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung einsetzen
$$ f(x) = x^3 $$
$$ f'(x) = 3x^2 $$
$$ m = f'(x_0) = f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0 $$
Tangentengleichung aufstellen
Wir setzen $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ und $m = 0$ in die Gleichung der Wendetangente ein
$$ \begin{align*} t_w\colon\; y &= m \cdot (x - x_0) + y_0 \\[5px] &= 0 \cdot (x - 0) + 0 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
Interpretation des Ergebnisses
$y = 0$ ist die Funktionsgleichung einer konstanten Funktion.
Die Wendetangente $t_w$ ist in diesem Fall eine waagrechte Gerade in Höhe des Ursprungs.
Liegt an einem Wendepunkt eine waagrechte Wendetangente an, so bezeichnet man den Wendepunkt auch als Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt.
Graphische Darstellung
Berechne die Wendetangente der Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$.
Wendepunkt berechnen
Aus dem Kapitel Wendepunkt berechnen wissen wir, dass die Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$ bei $\left(-1{,}5|{-1{,}5}\right)$ einen Wendepunkt hat.
Steigung der Tangente berechnen
$x$-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung einsetzen
$$ f(x) = \frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x $$
$$ f'(x) = 2x^2 + 6x + 4 $$
$$ m = f'(x_0) = f'(-1{,}5) = 2\cdot(-1{,}5)^2 + 6\cdot (-1{,}5) + 4 = -0{,}5 $$
Tangentengleichung aufstellen
Wir setzen $x_0 = -1{,}5$, $y_0 = -1{,}5$ und $m = -0{,}5$ in die Gleichung der Wendetangente ein
$$ \begin{align*} t_w\colon\; y &= m \cdot (x - x_0) + y_0 \\[5px] &= -0{,}5 \cdot (x - (-1{,}5)) + (-1{,}5) \\[5px] &= -0{,}5 \cdot (x + 1{,}5) -1{,}5 \\[5px] &= -0{,}5x - 0{,}75 - 1{,}5 \\[5px] &= -0{,}5x - 2{,}25 \end{align*} $$
Interpretation des Ergebnisses
$y = -0{,}5x - 2{,}25$ ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion.
Die Wendetangente $t_w$ ist in diesem Fall eine fallende Gerade.
Graphische Darstellung
