Verdopplungszeit
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Verdopplungszeit ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Die Verdopplungszeit $\boldsymbol{t_V}$ ist die Zeitspanne, nach der sich der Anfangsbestand $B(0)$ verdoppelt hat.
Beispiel
Die Bevölkerung Irlands (4,6 Millionen Einwohner) wächst um 4 % pro Jahr.
Berechne die Verdopplungszeit.
| Ansatz | $\boldsymbol{B(t) = B(0) \cdot q^t}$ |
| Anfangsbestand | $B(0) = 4.600.000$ |
| Wachstumsfaktor | $q = 1 + \frac{p}{100} = 1 + \frac{4}{100} = 1 + 0{,}04 = 1{,}04$ |
$$ \Rightarrow B(t) = 4.600.000 \cdot 1{,}04^t $$
Die Bevölkerung verdoppelt sich, wenn gilt: $1{,}04^t = 2$.
Dabei handelt es sich um eine Exponentialgleichung, die wir durch Logarithmieren lösen können:
$$ \begin{align*} 1{,}04^t &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}} \\[5px] \ln(1{,}04^t) &= \ln(2) &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz anwenden}} \\[5px] t \cdot \ln(1{,}04) &= \ln(2) &&{\color{gray}|\, :\ln(1{,}04)} \\[5px] t &= \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)} \\[5px] t &\approx 17{,}67 \end{align*} $$
Nach ungefähr 17,67 Jahren hat sich die Bevölkerung Irlands verdoppelt.
Formel
Formel für die Verdopplungszeit
$$ t_V = \frac{\ln(2)}{\ln(q)} $$
Dabei ist $q$ der Wachstumsfaktor: $q = 1 + \frac{p}{100}$.
Anmerkung
Um die Verdopplungszeit zu berechnen, müssen wir nur den Prozentsatz $p$ (= Wachstumsrate) kennen, der angibt, um wie viel Prozent der Bestand pro Zeiteinheit (z. B. Jahre) wächst.
Verwandt mit der Verdopplungszeit $t_V$ ist die Halbwertszeit $t_H$.
