Verbindungsvektor

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Verbindungsvektor ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Vektor

Problemstellung

In vielen Aufgabenstellungen sind zwei Punkte gegeben und ihr Verbindungsvektor ist gesucht.

Definition

Ein Vektor, der zwei beliebige Punkte $P$ und $Q$ miteinander verbindet, heißt Verbindungsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{PQ}}$ von $P$ und $Q$ .

$\overrightarrow{PQ}$ ist die symbolische Schreibweise für den Vektor mit Anfangspunkt $P$ und Endpunkt $Q$ .

Beispiel 1

Gegeben sind zwei Punkte $P$ und $Q$ .

Gesucht ist der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ .

Abb. 1 / Zwei Punkte

$\overrightarrow{PQ}$ beschreibt den Vektor mit dem Anfangspunkt $P$ und dem Endpunkt $Q$ .

Wir sagen: $\overrightarrow{PQ}$ (Vektor P Q) ist der Verbindungsvektor von $P$ und $Q$ .

Abb. 2 / Verbindungsvektor

Beispiel 2

Gegeben sind zwei Punkte $P$ und $Q$ .

Gesucht ist der Verbindungsvektor $\overrightarrow{QP}$ .

Abb. 3 / Zwei Punkte

$\overrightarrow{QP}$ beschreibt den Vektor mit dem Anfangspunkt $Q$ und dem Endpunkt $P$ .

Wir sagen: $\overrightarrow{QP}$ (Vektor Q P) ist der Verbindungsvektor von $Q$ und $P$ .

Abb. 4 / Verbindungsvektor

Gegenvektor

Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ unterscheidet sich vom Vektor $\overrightarrow{QP}$ nur durch seine Orientierung. (Umgangssprachlich: $\overrightarrow{QP}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\overrightarrow{PQ}$ )

$\overrightarrow{QP}$ heißt Gegenvektor von $\overrightarrow{PQ}$ .

Es gilt: $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$ .

Vereinfachte Schreibweise

Wir können Schreibarbeit sparen, indem wir einen Verbindungsvektor einfach mit einem beliebigen Kleinbuchstaben bezeichnen. Dies ist durchaus sinnvoll, wenn wir uns daran erinnern, dass wir Vektoren beliebig parallel verschieben dürfen und es deshalb auf einen konkreten Anfangs- und Endpunkt eines Vektors nicht ankommt.

Beispiel 3

$$ \vec{a} = \overrightarrow{PQ} $$

Verbindungsvektor berechnen

Um die folgende Herleitung zu verstehen, solltest du zwei Sachen wissen:

Wir können einen Vektor parallel verschieben, ohne dass sich seine Länge, Richtung und Orientierung ändert $\Rightarrow$ Eine Parallelverschiebung ändert nicht die Vektorkoordinaten!
Ein Vektor mit Anfangspunkt im Ursprung $O(0|0)$ und Endpunkt $A$ heißt Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ von $A$ . Der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ hat dieselben Koordinaten wie sein Endpunkt $A$ . Beispiel: $A(3|2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Herleitung

Gegeben sind die Punkte $P(2|4)$ und $Q(5|6)$ .

Gesucht sind die Koordinaten von $\overrightarrow{PQ}$ .

Abb. 5 / Verbindungsvektor

Um die Koordinaten von $\overrightarrow{PQ}$ zu erhalten, wenden wir einen kleinen Trick an:

Wir verschieben den Vektor parallel, sodass er im Koordinatenursprung $O(0|0)$ beginnt.

Jetzt entsprechen die Koordinaten des Vektors den Koordinaten des Endpunktes $Q^{\prime}$ :

$$ Q^{\prime}(3|2) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OQ^{\prime}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \overrightarrow{PQ} $$

Abb. 6 / Verschobener Verbindungsvektor

Wir erkennen,…

…dass wir zu $P$ und $Q$ kommen, indem wir $O$ und $Q^{\prime}$ um den Vektor $\overrightarrow{OP}$ verschieben.

…dass $\overrightarrow{OQ^{\prime}}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}$ gilt. Dabei handelt es sich um eine Vektoraddition.

Abb. 7 / Verschiebungsvektor

Die Gleichung $\overrightarrow{OQ^{\prime}}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}$ lösen wir nach $\overrightarrow{OQ^{\prime}}$ auf, indem wir von beiden Seiten der Gleichung den Vektor $\overrightarrow{OP}$ abziehen. Dabei handelt es sich um eine Äquivalenzumformung.

$$ \begin{align*} \overrightarrow{OQ^{\prime}}+\overrightarrow{OP} &=\overrightarrow{OQ} &&{\color{gray}|-\overrightarrow{OP}}\\ \overrightarrow{OQ^{\prime}}+\overrightarrow{OP}{\color{gray}\,-\,\overrightarrow{OP}} &=\overrightarrow{OQ}{\color{gray}\,-\,\overrightarrow{OP}} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}}\\ \overrightarrow{OQ^{\prime}} &=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} \end{align*} $$

Wegen $\overrightarrow{OQ^{\prime}} = \overrightarrow{PQ}$ gilt:

Formel

Der Verbindungsvektor von $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$ berechnet sich zu

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} x_Q \\ y_Q \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_P \\ y_P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_Q - x_P \\ y_Q - y_P \end{pmatrix} $$

Der Verbindungsvektor berechnet sich also nach der Formel Endpunkt minus Anfangspunkt.

Beispiel 4

Gegeben sind $P(2|4)$ und $Q(5|6)$ .

Gesucht ist $\overrightarrow{P{\color{red}Q}}$ .

$$ \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} {\color{red}5}-2 \\ {\color{red}6}-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$.

Abb. 8 / Verbindungsvektor berechnen

Beispiel 5

Gegeben sind $P(2|4)$ und $Q(5|6)$ .

Gesucht ist $\overrightarrow{Q{\color{red}P}}$ .

$$ \overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} {\color{red}2}-5 \\ {\color{red}4}-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$.

Abb. 9 / Verbindungsvektor berechnen

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