Varianz
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Varianz einer Verteilung ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Wir wissen bereits, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable entweder
- durch die Verteilungsfunktion oder
- die Wahrscheinlichkeitsfunktion (bei diskreten Zufallsvariablen) bzw. die Dichtefunktion (bei stetigen Zufallsvariablen)
vollständig beschreiben lässt.
Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig: Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Eine dieser Maßzahlen lernen wir im Folgenden etwas besser kennen.
Die Varianz ist eine Maßzahl zur Charakterisierung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Statt Maßzahl
sagt man auch Kennzahl
oder Kennwert
.
Welche Aussage trifft die Varianz?
Die Varianz ist ein Streuungsparameter
. Unter diesem Begriff werden alle Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Streuung einer Verteilung machen.
Die Varianz beschreibt die erwartete quadratische Abweichung der Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert.
Nachteil der Varianz ist, dass sie aufgrund der Quadrierung eine andere Einheit als die beobachteten Messwerte besitzt. Auf den ersten Blick können somit keine konkreten Aussagen über die Streuungsbreite abgeleitet werden. In der Praxis wird daher häufig die Standardabweichung, die sich aus Quadratwurzel der Varianz ergibt, herangezogen.
Varianz einer diskreten Verteilung
In den folgenden beiden Abbildungen sind zwei Wahrscheinlichkeitsfunktionen dargestellt. Erkennst du den Unterschied zwischen einer kleinen und einer großen Varianz?
Die Realisationen von $X$ sind eng
um den Erwartungswert $\mu = 0$ gestreut.
$\Rightarrow$ kleine Varianz
Die Realisationen von $X$ sind breit
um den Erwartungswert $\mu = 0$ gestreut.
$\Rightarrow$ große Varianz
Im Folgenden schauen wir uns an, wie man die Varianz berechnet.
Ist $X$ eine diskrete Zufallsvariable, so heißt
$$ \sigma^2_{X} = \textrm{Var(X)} = \sum_i (x_i - \mu_{X})^2 \cdot P(X = x_i) $$
die Varianz von $X$.
Dabei steht $\mu_{X}$ für den Erwartungswert.
Verschiebungssatz für diskrete Zufallsvariablen
$$ \begin{align*} \sigma^2_{X} = \textrm{Var}(X) &= \textrm{E}(X^2) - (\textrm{E}(X))^2 \\[5px] &= \sum_i x_i^2 \cdot P(X = x_i) - (\textrm{E}(X))^2 \end{align*} $$
Der Verschiebungssatz erleichtert meist die Berechnung der Varianz.
Die Zufallsvariable $X$ sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.
Es gibt sechs mögliche Realisationen:
$x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, $x_4 = 4$, $x_5 = 5$, $x_6 = 6$
Alle sechs Realisationen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit:
$$ p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = \frac{1}{6} $$
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} \text{Augenzahl } x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X = x_i) & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array} $$
Erwartungswert berechnen
Der Erwartungswert ist ${\color{blue}\mu_{X} = \textrm{E}(X) = 3{,}5}$.
Ausführlicher Rechenweg: Kapitel zum Erwartungswert - Beispiel 1
Varianz berechnen
Möglichkeit 1: Ohne Verschiebungssatz
$$ \begin{align*} \textrm{Var(X)} &= \sum_i (x_i - {\color{blue}\mu_{X}})^2 \cdot P(X = x_i) \\[5px] &= (1 - {\color{blue}3{,}5})^2 \cdot \frac{1}{6} + (2 - {\color{blue}3{,}5})^2 \cdot \frac{1}{6} + (3 - {\color{blue}3{,}5})^2 \cdot \frac{1}{6} \\[5px] &\quad+ (4 - {\color{blue}3{,}5})^2 \cdot \frac{1}{6} +(5 -{\color{blue}3{,}5})^2 \cdot \frac{1}{6} +(6 - {\color{blue}3{,}5})^2 \cdot \frac{1}{6} \\[5px] &= \frac{35}{12} \\[5px] &\approx 2{,}92 \end{align*} $$
Möglichkeit 2: Mit Verschiebungssatz
$$ \begin{align*} \textrm{Var(X)} &= \sum_i x_i^2 \cdot P(X = x_i) - ({\color{blue}\textrm{E}(X)})^2 \\[5px] &= 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6} - {\color{blue}3{,}5}^2 \\[5px] &= \frac{91}{6} - \frac{49}{4} \\[5px] &= \frac{35}{12} \\[5px] &\approx 2{,}92 \end{align*} $$
Die Zufallsvariable $X$ sei der Gewinn beim Roulette.
Wir setzen 1 € auf unsere Glückszahl. Falls wir gewinnen, erhalten wir 36 €. Unser Gewinn beträgt folglich 35 €, denn 1 € haben wir ja eingesetzt.
Zur Erinnerung: Beim Roulette kann man auf die Zahlen 0 bis 36 setzen.
Es gibt zwei Realisationen:$x_1 = -1$ (falls wir verlieren)$x_2 = 35$ (falls wir gewinnen)
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:$p_1 = \frac{36}{37}$ (in 36 von 37 Fällen verlieren wir)$p_2 = \frac{1}{37}$ (in 1 von 37 Fällen gewinnen wir)
$$ \begin{array}{r|r|r} \text{Gewinn } x_i & -1 & 35 \\ \hline P(X = x_i) & \frac{36}{37} & \frac{1}{37} \end{array} $$
Erwartungswert berechnen
Der Erwartungswert ist ${\color{blue}\mu_{X} =\textrm{E}(X) = -\frac{1}{37}}$.
Ausführlicher Rechenweg: Kapitel zum Erwartungswert - Beispiel 2
Varianz berechnen
Möglichkeit 1: Ohne Verschiebungssatz
$$ \begin{align*} \textrm{Var(X)} &= \sum_i (x_i - {\color{blue}\mu_{X}})^2 \cdot P(X = x_i) \\[5px] &= \left(-1 - \left({\color{blue}\:-\:\frac{1}{37}}\right) \right)^2 \cdot \frac{36}{37} + \left(35 - \left({\color{blue}\:-\:\frac{1}{37}}\right)\right)^2 \cdot \frac{1}{37} \\[5px] &\approx 34{,}08 \end{align*} $$
Möglichkeit 2: Mit Verschiebungssatz
$$ \begin{align*} \textrm{Var(X)} &= \sum_i x_i^2 \cdot P(X = x_i) - ({\color{blue}\textrm{E}(X)})^2 \\[5px] &= (-1)^2 \cdot \frac{36}{37} + 35^2 \cdot \frac{1}{37} - \left({\color{blue}-\frac{1}{37}}\right)^2 \\[5px] &\approx 34{,}08 \end{align*} $$
Varianz einer stetigen Verteilung
In den folgenden beiden Abbildungen sind zwei Dichtefunktionen dargestellt. Erkennst du den Unterschied zwischen einer kleinen und einer großen Varianz?
Die Realisationen von $X$ sind eng
um den Erwartungswert $\mu = 0$ gestreut.
$\Rightarrow$ kleine Varianz
Die Realisationen von $X$ sind breit
um den Erwartungswert $\mu = 0$ gestreut.
$\Rightarrow$ große Varianz
Im Folgenden schauen wir uns an, wie man die Varianz berechnet.
Ist $X$ eine stetige Zufallsvariable, so heißt
$$ \sigma^2_{X} = \textrm{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} \! (x - \mu_{X})^2 \cdot f(x) \, \textrm{d}x $$
die Varianz von $X$.
Dabei steht $\mu_{X}$ für den Erwartungswert und $f(x)$ für die Dichtefunktion.
Verschiebungssatz für stetige Zufallsvariablen
$$ \begin{align*} \sigma^2_{X} = \textrm{Var}(X) &= \textrm{E}(X^2) - (\textrm{E}(X))^2 \\[5px] &= \left(\int_{-\infty}^{\infty} \! x^2 \cdot f(x) \, \textrm{d}x\right) - (\textrm{E}(X))^2 \end{align*} $$
Der Verschiebungssatz erleichtert meist die Berechnung der Varianz.
Ein Zufallsgenerator erzeugt zufällig eine Zahl zwischen -1 und 1.
Die Dichtefunktion des Zufallsgenerators ist
$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < -1 \\[5px] 0{,}5 & \text{für } -1 \le x \le 1 \\[5px] 0 & \text{für } x > 1 \end{cases} \end{equation*} $$
Erwartungswert berechnen
Der Erwartungswert ist ${\color{blue}\mu_{X} = \textrm{E}(X) = 0}$.
Ausführlicher Rechenweg: Kapitel zum Erwartungswert - Beispiel 3
Varianz berechnen
Möglichkeit 1: Ohne Verschiebungssatz
$$ \begin{align*} \textrm{Var}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \! (x - {\color{blue}\mu_{X}})^2 \cdot f(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \underbrace{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! (x-{\color{blue}0})^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{1. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! (x-{\color{blue}0})^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{-1}^{1} \! (x-{\color{blue}0})^2 \cdot 0{,}5 \, \textrm{d}x}_{\text{2. Abschnitt}} + \underbrace{\cancel{\int_{1}^{\infty} \! (x-{\color{blue}0})^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{3. Abschnitt}} \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \! (x-0)^2 \cdot 0{,}5 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \! x^2 \cdot 0{,}5 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \! \frac{1}{2}x^2 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \left[\frac{1}{6}x^3\right]_{{\color{maroon}-1}}^{{\color{red}1}} \\[5px] &= \frac{1}{6}\cdot {\color{red}1}^3 - \frac{1}{6}\cdot ({\color{maroon}-1})^3 \\[5px] &= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \\[5px] &= \frac{2}{6} \\[5px] &= \frac{1}{3} \end{align*} $$
Möglichkeit 2: Mit Verschiebungssatz
$$ \begin{align*} \textrm{Var}(X) &= \left(\int_{-\infty}^{\infty} \! x^2 \cdot f(x) \, \textrm{d}x\right) - ({\color{blue}\textrm{E}(X)})^2 \\[5px] &= \underbrace{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! x^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{1. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{-1} \! x^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{-1}^{1} \! x^2 \cdot 0{,}5 \, \textrm{d}x}_{\text{2. Abschnitt}} + \underbrace{\cancel{\int_{1}^{\infty} \! x^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{3. Abschnitt}} - {\color{blue}0}^2 \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \! x^2 \cdot 0{,}5 \, \textrm{d}x - 0^2 \\[5px] &= \int_{-1}^{1} \! \frac{1}{2}x^2 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \left[\frac{1}{6}x^3\right]_{{\color{maroon}-1}}^{{\color{red}1}} \\[5px] &= \frac{1}{6}\cdot {\color{red}1}^3 - \frac{1}{6}\cdot ({\color{maroon}-1})^3 \\[5px] &= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \\[5px] &= \frac{2}{6} \\[5px] &= \frac{1}{3} \end{align*} $$
Gegeben ist eine Zufallsvariable $X$ mit der Dichtefunktion
$$ \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\[5px] \frac{1}{4}x & \text{für } 0 \le x < 2 \\[5px] 1 - \frac{1}{4}x & \text{für } 2 \le x \le 4 \\[5px] 0 & \text{für } x > 4 \end{cases} \end{equation*} $$
Erwartungswert berechnen
Der Erwartungswert ist ${\color{blue}\mu_{X} = \textrm{E}(X) = 2}$.
Ausführlicher Rechenweg: Kapitel zum Erwartungswert - Beispiel 4
Varianz berechnen
Möglichkeit 1: Ohne Verschiebungssatz
$$ \begin{align*} \textrm{Var}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \! (x - {\color{blue}\mu_{X}})^2 \cdot f(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \underbrace{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! (x-{\color{blue}2})^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{1. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! (x-{\color{blue}2})^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{0}^{2} \! (x-{\color{blue}2})^2 \cdot \frac{1}{4}x \, \textrm{d}x}_{\text{2. Abschnitt}} \\[5px] &\quad+ \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! (x-{\color{blue}2})^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{2}^{4} \! (x-{\color{blue}2})^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{4}x\right) \, \textrm{d}x}_{\text{3. Abschnitt}} + \underbrace{\cancel{\int_{4}^{\infty} \! (x-{\color{blue}2})^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{4. Abschnitt}} \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! (x-2)^2 \cdot \frac{1}{4}x \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! (x-2)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{4}x\right) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! (x^2 - 4x + 4) \cdot \frac{1}{4}x \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! (x^2 - 4x + 4) \cdot \left(1 - \frac{1}{4}x\right) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! x^2 - 4x + 4 -\frac{1}{4}x^3 + x^2 - x \, \textrm{d}x \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! -\frac{1}{4}x^3 + 2x^2 - 5x + 4 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \left[\frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_{{\color{maroon}0}}^{{\color{red}2}} + \left[-\frac{1}{16}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x\right]_{{\color{maroon}2}}^{{\color{red}4}} \\[5px] &= \left(\frac{1}{16}\cdot {\color{red}2}^4 - \frac{1}{3} \cdot {\color{red}2}^3 + \frac{1}{2} \cdot {\color{red}2}^2 - \left(\frac{1}{16} \cdot {\color{maroon}0}^4 - \frac{1}{3} \cdot {\color{maroon}0}^3 + \frac{1}{2} \cdot {\color{maroon}0}^2\right)\right) \\[5px] &\quad \left(-\frac{1}{16} \cdot {\color{red}4}^4 + \frac{2}{3} \cdot {\color{red}4}^3 - \frac{5}{2} \cdot {\color{red}4}^2 + 4 \cdot {\color{red}4} - \left(-\frac{1}{16} \cdot {\color{maroon}2}^4 + \frac{2}{3} \cdot {\color{maroon}2}^3 - \frac{5}{2} \cdot {\color{maroon}2}^2 + 4 \cdot {\color{maroon}2}\right)\right) \\[5px] &= \left(1 - \frac{8}{3} + 2\right) + \left(-16 + \frac{128}{3} - 40 + 16 -\left(-1 + \frac{16}{3} - 10 + 8\right)\right) \\[5px] &= \left(\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{8}{3} -\left(\frac{7}{3}\right)\right) \\[5px] &= \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - \frac{7}{3} \\[5px] &= \frac{2}{3} \end{align*} $$
Möglichkeit 2: Mit Verschiebungssatz
$$ \begin{align*} \textrm{Var}(X) &= \left(\int_{-\infty}^{\infty} \! x^2 \cdot f(x) \, \textrm{d}x\right) - ({\color{blue}\textrm{E}(X)})^2 \\[5px] &= \underbrace{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! x^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{1. Abschnitt}} + \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! x^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{0}^{2} \! x^2 \cdot \frac{1}{4}x \, \textrm{d}x}_{\text{2. Abschnitt}} \\[5px] &\quad+ \underbrace{\vphantom{\cancel{\int_{-\infty}^{0} \! x^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}\int_{2}^{4} \! x^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{4}x\right) \, \textrm{d}x}_{\text{3. Abschnitt}} + \underbrace{\cancel{\int_{4}^{\infty} \! x^2 \cdot 0 \, \textrm{d}x}}_{\text{4. Abschnitt}} - {\color{blue}2}^2 \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! x^2 \cdot \frac{1}{4}x \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! x^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{4}x\right) \, \textrm{d}x - 2^2 \\[5px] &= \int_{0}^{2} \! \frac{1}{4}x^3 \, \textrm{d}x + \int_{2}^{4} \! -\frac{1}{4}x^3 + x^2 \, \textrm{d}x - 2^2 \\[5px] &= \left[\frac{1}{16}x^4\right]_{{\color{maroon}0}}^{{\color{red}2}} + \left[-\frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{3}x^3\right]_{{\color{maroon}2}}^{{\color{red}4}} - 2^2 \\[5px] &= \left(\frac{1}{16} \cdot {\color{red}2}^4 - \frac{1}{16} \cdot {\color{maroon}0}^4\right) + \left(-\frac{1}{16} \cdot {\color{red}4}^4 + \frac{1}{3} \cdot {\color{red}4}^3 - \left(-\frac{1}{16} \cdot {\color{maroon}2}^4 + \frac{1}{3} \cdot {\color{maroon}2}^3\right)\right) - 2^2 \\[5px] &= \left(1 - 0\right) + \left(-16 + \frac{64}{3} -\left(-1 + \frac{8}{3}\right)\right) - 2^2 \\[5px] &= 1 - 16 + \frac{64}{3} + 1 - \frac{8}{3} - 4 \\[5px] &= \frac{2}{3} \end{align*} $$
