Ungleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Ungleichungen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was sind Terme?
- Was sind Gleichungen?
Einordnung
Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch das Gleichheitszeichen (
) verbunden sind.$=$
Definition
Eine Ungleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch eines der Vergleichszeichen $<$ (Kleinerzeichen), $\leq$ (Kleinergleichzeichen), $>$ (Größerzeichen) oder $\geq$ (Größergleichzeichen) verbunden sind.
Ungleichungen dienen der Formulierung und Untersuchung von Größenvergleichen.
| Schreibweise | Sprechweise | Bedeutung |
|---|---|---|
$a < b$ | a kleiner b | a ist kleiner als b |
$a \leq b$ | a kleiner gleich b | a ist kleiner oder gleich b |
$a > b$ | a größer b | a ist größer als b |
$a \geq b$ | a größer gleich b | a ist größer oder gleich b |
Der Winkelhaken
ist immer nach der größeren Seite hin geöffnet.
Merkhilfe: In der Grundschule stellt man sich diesen Winkelhaken
auch als Krokodilmaul vor: Das Krokodil ist nämlich schlau und frisst immer den größeren Teil.
Schreibe zwischen die Zahlen $1$ und $2$ das richtige Vergleichszeichen.
$$ 1 < 2 $$
Merke: Das Krokodil frisst die größere Zahl.
Schreibe zwischen die Zahlen $2$ und $1$ das richtige Vergleichszeichen.
$$ 2 > 1 $$
Merke: Das Krokodil frisst die größere Zahl.
Eigenschaften
Reflexivität
$a \leq a$
Transitivität
Ist $a > b$ und $b > c$, dann ist $a > c$
Die anderen Rechenzeichen sind ebenfalls transitiv.
Antisymmetrie
Ist $a \leq b$ und $b \leq a$, dann gilt $a = b$
Rechenregeln
$$ a < b \quad \Longleftrightarrow \quad b > a $$
In Worten: Eine Ungleichung kann von beiden Seiten gelesen werden.
$$ a \leq b \quad \Rightarrow \quad a+c \leq b+c $$
In Worten: Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf dieselbe Zahl addiert werden.
$$ a \leq b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c \leq b+d $$
$$ a < b \quad\text{und}\quad c \leq d \quad \Rightarrow \quad a+c < b+d $$
In Worten: Zwei gleichgerichtete Ungleichungen dürfen addiert werden.
$$ a \leq b \quad\text{und}\quad c \geq 0 \quad \Rightarrow \quad ac \leq bc $$
In Worten: Eine Ungleichung darf mit einer nichtnegativen (!) Zahl multipliziert werden.
$$ a \leq b \quad\text{und}\quad c \leq 0 \quad \Rightarrow \quad ac \geq bc $$
In Worten: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert (oder dividiert), so dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
$$ a \leq b \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} $$
In Worten: Wenn die Seiten der Ungleichung entweder beide positiv oder beide negativ sind, gilt: Bildet man auf beiden Seiten einer Ungleichung den Kehrwert, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Ungleichungen lösen
Enthält eine Ungleichung eine (oder mehrere) Unbekannte, so bezeichnet man die Suche nach einer Lösung für die Unbekannte auch als das Lösen von Ungleichungen
.
| Art | Beispiel |
|---|---|
| Lineare Ungleichungen (mit einer Variable) | $10x - 8 \leq 3x + 4$ |
| Lineare Ungleichungen (mit zwei Variablen) | $5x - 3y > 10$ |
| Quadratische Ungleichungen | $x^2 - x + 3\geq 4x - 5$ |
| Bruchungleichungen | $\frac{1}{x +1} > 7$ |
| Betragsungleichungen | $|x + 1| < 3$ |
Neben einfachen
Ungleichungen gibt es auch Ungleichungssysteme, die aus mehreren Ungleichungen bestehen:
| Art | Beispiel |
|---|---|
| Lineare Ungleichungssysteme (mit einer Variable) | $\begin{align*}2x - 4 &< 6 \\3x + 5 &> 2\end{align*}$ |
| Lineare Ungleichungssysteme (mit zwei Variablen) | $\begin{align*}2x + y &\leq 12 \\2x + 3y &\leq 18\end{align*}$ |
