Umfang: Tangentenviereck

In diesem Kapitel lernen wir, den Umfang eines Tangentenvierecks zu berechnen. Ein Tangentenviereck ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Umfang ist der Fachbegriff für die Länge der Begrenzungslinie einer geometrischen Figur.

Herleitung der Formeln 

Die Umfangsformel können wir vereinfachen, wenn Seiten mit gleicher Länge vorkommen. In einem Tangentenviereck ist genau das der Fall, denn:

Herleitung der 1. Formel

$$ \begin{align*} U &= a + b + c + d &&{\color{gray}|\text{ Umstellen}} \\[5px] &= a + c + {\color{red}b + d} &&{\color{gray}|~ b+d=a+c} \\[5px] &= a + c + {\color{red}a + c} &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}} \\[5px] &= 2a + 2c &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}} \\[5px] &= 2(a+c) \end{align*} $$

Herleitung der 2. Formel

$$ \begin{align*} U &= a + b + c + d &&{\color{gray}|\text{ Umstellen}} \\[5px] &= {\color{red}a + c} + b + d &&{\color{gray}|~ a+c=b+d} \\[5px] &= {\color{red}b + d} + b + d &&{\color{gray}|\text{ Zusammenrechnen}} \\[5px] &= 2b + 2d &&{\color{gray}|\text{ Ausklammern}} \\[5px] &= 2(b+d) \end{align*} $$

Formeln 

Um den Umfang eines Tangentenvierecks berechnen zu können, müssen wir die Länge zweier Gegenseiten kennen. Unter Umständen ist ein Ausmessen erforderlich.

Eine Länge – wie $5\ \textrm{cm}$ – ist eine Größe, die aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit besteht.

Längen können bekanntlich nur addiert werden, wenn sie in derselben Maßeinheit vorliegen. Deshalb müssen wir gegebenenfalls die Einheiten auf eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Wichtige Maßeinheiten für Längen (Längenmaße)

• Millimeter ($\textrm{mm}$)
• Zentimeter ($\textrm{cm}$)
• Dezimeter ($\textrm{dm}$)
• Meter ($\textrm{m}$)
• Kilometer ($\textrm{km}$)

Ein Platzhalter für eine beliebige Längeneinheit ist $\textrm{LE}$.

Anleitung 

Beispiele