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Trapez

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Trapez ist. Für alle, die das Wort noch nie gehört haben: Ein Trapez ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Ein Trapez ist ein Viereck mit
einem Paar paralleler Seiten.

Beispiel eines Trapezes

Das Paar paralleler Seiten ist in diesem Fall $a$ und $c$. Mathematische Schreibweise: $a \parallel c$.

Abb. 1 / Trapez 

Eigenschaften 

Geerbte Eigenschaften 

Ecken 

Jedes Viereck hat vier Ecken.

Abb. 2 / Ecken 

Seiten 

Jedes Viereck hat vier Seiten.

Abb. 3 / Seiten 

Winkel 

In jedem Viereck
– gibt es vier Innenwinkel
– beträgt die Winkelsumme $360^\circ$
   $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

Abb. 4 / Winkel 

Diagonale 

Jedes Viereck hat zwei Diagonalen.

Abb. 5 / Diagonale 

Spezielle Eigenschaften 

Seiten 

Ein Trapez hat zwei parallele Seiten.

Die beiden parallelen Seiten heißen Grundseiten (hier: $a$ und $c$). Die längere Grundseite wird oft Basis (hier: $a$) genannt.

Die anderen beiden (im Allgemeinen nicht parallelen) Seiten heißen Schenkel ($b$ und $d$).

Abb. 6 / Seiten 

Winkel 

Die Winkel an jedem Schenkel ergänzen sich zu $180^\circ$.
$\alpha + \delta = 180^\circ$
$\beta + \gamma = 180^\circ$

Abb. 7 / Winkel 

Höhe 

Die Höhe in einem Trapez entspricht dem Abstand der beiden parallelen Seiten.

Abb. 8 / Höhe 

Mittelparallele 

Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißt Mittelparallele oder Mittellinie.

Die Mittelparallele verläuft parallel zu den Grundseiten.

Die Mittelparallele eines Trapezes ist gleich der halben Summe der beiden Grundseiten: $m = \frac{1}{2}(a+c)$.

Abb. 9 / Mittellinie 

Trapez berechnen 

Umfang 

$$ U = a + b + c + d $$

Umfang eines Trapezes

Abb. 10 / Umfang 

Flächeninhalt 

$$ \begin{align*} A &= m \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 1. Formel}} \\[5px] &= \frac{1}{2}(a+c) \cdot h &&{\color{gray}|\text{ 2. Formel}} \\[5px] \end{align*} $$

Flächeninhalt eines Trapezes

Abb. 11 / Flächeninhalt 

Spezielle Trapeze 

Gleichschenkliges Trapez

= Trapez mit gleich langen Schenkeln

Abb. 12 / Gleichschenkliges Trapez 

Rechtwinkliges Trapez

= Trapez mit einem Schenkel, der auf den parallelen Seiten senkrecht steht

Abb. 13 / Rechtwinkliges Trapez 

Parallelogramm

= Trapez mit zwei Paaren paralleler Seiten

Abb. 14 / Parallelogramm 

Raute

= gleichseitiges Trapez

Abb. 15 / Raute 

Rechteck

= ungleichseitiges Trapez mit vier rechten Winkeln

Abb. 16 / Rechteck 

Quadrat

= gleichseitiges Trapez mit vier rechten Winkeln

Abb. 17 / Quadrat 

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