Symmetrieverhalten
In diesem Kapitel besprechen wir das Symmetrieverhalten einer Funktion.
Einordnung
Beim Symmetrieverhalten geht es um die Frage, ob der Graph einer Funktion
- zu einer Achse (z. B. der
$y$-Achse) oder - zu einem Punkt (z. B. dem Ursprung)
symmetrisch ist.
Arten
Achsensymmetrie zur y-Achse
Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse liegt vor, wenn gilt
$$ f(-x) = f(x) $$
Das Vorgehen ist dementsprechend:
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist
Überprüfe, ob $f(x) = x^2$ zur $y$-Achse symmetrisch ist.
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^2 = x^2 $$
Da der Exponent gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg.
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist
$$ f(-x) = x^2 = f(x) $$
$\Rightarrow$ Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse
Punktsymmetrie zum Ursprung
Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt
$$ f(-x) = -f(x) $$
Das Vorgehen ist dementsprechend:
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{-f(x)}$ ist
Überprüfe, ob $f(x) = x^3$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen
$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3 = -x^3 $$
Da der Exponent ungerade ist, bleibt das negative Vorzeichen erhalten.
Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{-f(x)}$ ist
$$ f(-x) = -x^3 = -f(x) $$
$\Rightarrow$ Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse
Symmetrie zu einer Achse liegt vor, wenn gilt
$$ f(x_0+h) = f(x_0-h) $$
Dabei ist $x_0$ die Gleichung der Achse.
$\boldsymbol{x_0+h}$ in die Funktion einsetzen
$\boldsymbol{x_0-h}$ in die Funktion einsetzen
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Überprüfe, ob $f(x) = x^2 - 4x + 4$ zur Achse $x_0 = 2$ symmetrisch ist.
$\boldsymbol{x_0+h}$ in die Funktion einsetzen
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}2+h})^2 - 4({\color{red}2+h}) + 4 \\[5px] &= 4 +4h + h^2 - 8 - 4h + 4 \\[5px] &= h^2 \end{align*} $$
$\boldsymbol{x_0-h}$ in die Funktion einsetzen
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}2-h})^2 - 4({\color{red}2-h}) + 4 \\[5px] &= 4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4 \\[5px] &= h^2 \end{align*} $$
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Wegen
$$ f(x_0+h)=f(x_0-h) $$
bzw.
$$ h^2 = h^2 $$
ist die Funktion $f(x)$ zur Achse mit der Gleichung $x_0 = 2$ symmetrisch.
Punktsymmetrie zu einem Punkt
Symmetrie zu einem Punkt liegt vor, wenn gilt
$$ f(x_0+h) - y_0= - f(x_0-h) + y_0 $$
Dabei sind $x_0$ und $y_0$ die Koordinaten des Punktes.
$\boldsymbol{f(x_0+h) - y_0}$ berechnen
$\boldsymbol{- f(x_0-h) + y_0}$ berechnen
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Überprüfe, ob $f(x) = x^3 + 3x^2$ zum Punkt $(-1|2)$ symmetrisch ist.
$\boldsymbol{f(x_0+h) - y_0}$ berechnen
$$ \begin{align*} f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \left[({\color{red}-1+h})^3 + 3({\color{red}-1+h})^2\right] - {\color{blue}2} \\[5px] &=\left[\left(1 - 2h +h^2\right) \cdot \left(-1+h\right) + 3\left(1-2h+h^2\right)\right] - 2 \\[5px] &= \left[-1 + 2h - h^2 + h - 2h^2 + h^3 + 3 -6h + 3h^2\right] - 2 \\[5px] & = \left[h^3 - 3h + 2\right] - 2 \\[5px] &= h^3 - 3h \end{align*} $$
$\boldsymbol{- f(x_0-h) + y_0}$ berechnen
$$ \begin{align*} -f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[({\color{red}-1-h})^3 + 3({\color{red}-1-h})^2\right] + {\color{blue}2} \\[5px] &=-\left[\left(1+2h+h^2\right) \cdot \left(-1-h\right) + 3(1+2h+h^2)\right] + 2 \\[5px] &= -\left[-1 -2h -h^2 -h -2h^2 -h^3 + 3 + 6h + 3h^2 \right] + 2 \\[5px] &= -\left[-h^3 + 3h + 2\right] + 2 \\[5px] &= h^3 - 3h \end{align*} $$
Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Wegen
$$ f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0 $$
bzw.
$$ h^3 - 3h = h^3 - 3h $$
ist die Funktion $f(x)$ zum Punkt $(-1|2)$ symmetrisch.
Zusammenfassung
| Art der Symmetrie | Bedingung |
|---|---|
Achsensymmetrie zur $y$-Achse | $f(-x) = f(x)$ |
| Punktsymmetrie zum Ursprung | $f(-x) = -f(x)$ |
| Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse | $f(x_0+h) = f(x_0-h)$ |
| Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt | $f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0$ |
