Quadratische Ungleichungen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was quadratische Ungleichungen sind und wie man sie löst.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Ungleichung?
Definition
Eine Ungleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen in eine der Formen
$ax^2 + bx + c < 0$$ax^2 + bx + c > 0$$ax^2 + bx + c \leq 0$$ax^2 + bx + c \geq 0$
bringen lässt, heißt quadratische Ungleichung.
Tipp: Wir können quadratische Ungleichungen daran erkennen, dass die Variable nur bis zur 2. Potenz auftritt – also kein $x^3$, $x^4$, … enthalten.
Quadratischen Ungleichungen lösen
Quadratische Gleichung lösen
Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören
zu 1)
Wir behandeln die Ungleichung als Gleichung, indem wir das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen ($=$) ersetzen.
Es gibt vier Arten von quadratischen Gleichungen:
$ax^2 = 0$$ax^2 + c = 0$$ax^2 + bx = 0$$ax^2 + bx + c = 0$
Im Kapitel zu den quadratischen Gleichungen haben wir uns für jede der obigen vier Gleichungen ein oder mehrere Lösungsverfahren angeschaut.
zu 2)
Eine quadratische Gleichung besitzt entweder keine Lösung, eine Lösung oder zwei Lösungen.
Wenn es keine Lösung gibt, lautet die Lösungsmenge der Ungleichung
$\mathbb{L} = \{\}$(die Ungleichung ist für kein$x \in \mathbb{R}$erfüllt) oder$\mathbb{L} = \{\mathbb{R}\}$(die Ungleichung ist für jedes$x \in \mathbb{R}$erfüllt).
Welcher der beiden Fälle vorliegt, erfahren wir, wenn wir ein beliebiges $x$ in die Ungleichung einsetzen und überprüfen, ob die Ungleichung für jenes $x$ erfüllt ist oder nicht.
Wenn es eine Lösung ($x_1$) gibt, lauten die potenziellen Lösungsintervalle:
$\mathbb{L}_1 = ]-\infty; {\color{red}x_1[}$und$\mathbb{L}_2 = {\color{red}]x_1}; \infty[$,
wenn die Ungleichung ein${\color{red}>}$(Größerzeichen) oder${\color{red}<}$(Kleinerzeichen) enthält$\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; {\color{green}x_1]}$und$\mathbb{L}_2 = {\color{green}[x_1}; \infty[$,
wenn die Ungleichung ein${\color{green}\geq}$(Größergleichzeichen) oder${\color{green}\leq}$(Kleinergleichzeichen) enthält
Wenn es zwei Lösungen ($x_1$ und $x_2$) gibt, lauten die potenziellen Lösungsintervalle:
$\mathbb{L}_1 = ]-\infty; {\color{red}x_1[}$,$\mathbb{L}_2 = {\color{red}]x_1}; {\color{red}x_2[}$und$\mathbb{L}_3 = {\color{red}]x_2}; \infty[$,
wenn die Ungleichung ein${\color{red}>}$(Größerzeichen) oder${\color{red}<}$(Kleinerzeichen) enthält$\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; {\color{green}x_1]}$,$\mathbb{L}_2 = {\color{green}[x_1}; {\color{green}x_2]}$und$\mathbb{L}_3 = {\color{green}[x_2}; \infty[$,
wenn die Ungleichung ein${\color{green}\geq}$(Größergleichzeichen) oder${\color{green}\leq}$(Kleinergleichzeichen) enthält
zu 3)
Um herauszufinden, welche Intervalle zur Lösung gehören, setzt man aus jedem Intervall eine Zahl in die Ungleichung ein. Ist die Ungleichung erfüllt, gehört das jeweilige Intervall zur Lösung. Beachte: Die Intervallgrenzen eignen sich nicht zum Einsetzen in die Ungleichung!
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist die Vereinigungsmenge der gültigen Lösungsintervalle.
$ax^2 = 0$
Gleichungen vom Typ $ax^2 = 0$ besitzen als einzige Lösung die Null.
$$ 4x^2 {\color{red}\:>\:} 0 $$
Quadratische Gleichung lösen
$$ 4x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0 $$
Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
$\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty;{\color{red}0[}$ und $\mathbb{L}_2 = {\color{red}]0}; \infty[$
Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören
Aus dem 1. Intervall $\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; 0[$ setzen wir ${\color{maroon}-1}$ in die Ungleichung ein:
$$ 4x^2 > 0 $$
$$ 4 \cdot ({\color{maroon}-1})^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad 4 > 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Aus dem 2. Intervall $\mathbb{L}_2 = \: ]0; \infty[$ setzen wir ${\color{maroon}1}$ in die Ungleichung ein:
$$ 4x^2 > 0 $$
$$ 4 \cdot {\color{maroon}1}^2 > 0 \phantom{(-)} \quad \Rightarrow \quad 4 > 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist demnach
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = ]-\infty; 0[ \:\cup\: ]0; \infty[ $$
$$ -3x^2 {\color{green}\:\leq\:} 0 $$
Quadratische Gleichung lösen
$$ -3x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0 $$
Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
$\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; {\color{green}0]}$ und $\mathbb{L}_2 = {\color{green}[0}; \infty[$
Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören
Aus dem 1. Intervall $\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; 0]$ setzen wir ${\color{maroon}-1}$ in die Ungleichung ein:
$$ -3x^2 \leq 0 $$
$$ -3 \cdot ({\color{maroon}-1})^2 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad -3 \leq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Aus dem 2. Intervall $\mathbb{L}_2 = \: [0; \infty[$ setzen wir ${\color{maroon}1}$ in die Ungleichung ein:
$$ -3x^2 \leq 0 $$
$$ -3 \cdot {\color{maroon}1}^2 \leq 0 \phantom{(-)} \quad \Rightarrow \quad -3 \leq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist demnach
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = ]-\infty; 0] \:\cup\: [0; \infty[ = \mathbb{R} $$
$ax^2 + c = 0$
$$ x^2 - 9 {\color{green}\:\geq\:} 0 $$
Quadratische Gleichung lösen
Gleichung nach $x^2$ auflösen
$$ x^2 - 9 = 0 \qquad |{\color{gray}+9} $$
$$ x^2 - 9 {\color{gray}\:+\:9} = {\color{gray}+9} $$
$$ x^2 = 9 $$
Wurzel ziehen
$$ x^2 = 9 \qquad |\sqrt{\phantom{9}} $$
$$ x = \pm \sqrt{9} $$
$$ x = \pm 3 $$
$$ \Rightarrow x_1 = -3 $$
$$ \Rightarrow x_2 = 3 $$
Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
$\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty; {\color{green}-3]}$, $\mathbb{L}_2 = {\color{green}[-3};{\color{green}3]}$ und $\mathbb{L}_3 = {\color{green}[3}; \infty[$
Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören
Aus dem 1. Intervall $]-\infty;-3]$ setzen wir ${\color{maroon}-4}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 - 9 \geq 0 $$
$$ ({\color{maroon}-4})^2 - 9 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 7 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Aus dem 2. Intervall $[-3;3]$ setzen wir ${\color{maroon}0}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 - 9 \geq 0 $$
$$ {\color{maroon}0}^2 - 9 \geq 0 \phantom{(-)} \quad \Rightarrow \quad -9 \geq 0 \quad{\color{red}\times} $$
Aus dem 3. Intervall $[3;\infty[$ setzen wir ${\color{maroon}4}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 - 9 \geq 0 $$
$$ {\color{maroon}4}^2 - 9 \geq 0 \phantom{(-)}\qquad \rightarrow 7 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist demnach
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_3 = ]-\infty;-3] \:\cup\: [3;\infty[ $$
$$ 2x^2 + 8 {\color{red}\:<\:} 0 $$
Quadratische Gleichung lösen
Gleichung nach $x^2$ auflösen
$$ 2x^2 + 8 = 0 \qquad |{\color{gray}-8} $$
$$ 2x^2 + 8 {\color{gray}\:-\:8} = {\color{gray}-8} $$
$$ 2x^2 = -8 \qquad |:{\color{gray}2} $$
$$ \frac{2x^2}{{\color{gray}2}} = \frac{-8}{{\color{gray}2}} $$
$$ x^2 = -4 $$
Wurzel ziehen
$$ x^2 = -4 \qquad |\sqrt{\phantom{9}} $$
$$ x = \pm \sqrt{-4} $$
Die Wurzel einer negativen Zahl ist (in $\mathbb{R}$) nicht definiert!$\Rightarrow$ Die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Um herauszufinden, ob die Ungleichung für kein $x$ oder für jedes $x$ erfüllt ist, setzen wir ein beliebiges $x$, z. B. $x = {\color{maroon}1}$ in die Ungleichung ein:
$$ 2 \cdot {\color{maroon}1}^2 + 8 < 0 \qquad \rightarrow 10 < 0 \quad{\color{red}\times} $$
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist demnach:
$$ \mathbb{L} = \{\} $$
$$ x^2 + 1 {\color{green}\:>\:} 0 $$
Quadratische Gleichung lösen
Gleichung nach $x^2$ auflösen
$$ x^2 + 1 = 0 \qquad |{\color{gray}-1} $$
$$ x^2 + 1 {\color{gray}\:-\:1\:} = {\color{gray}-1} $$
$$ x^2 = -1 $$
Wurzel ziehen
$$ x^2 = -1 \qquad |\sqrt{\phantom{9}} $$
$$ x = \pm \sqrt{-1} $$
Die Wurzel einer negativen Zahl ist (in $\mathbb{R}$) nicht definiert!$\Rightarrow$ Die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Um herauszufinden, ob die Ungleichung für kein $x$ oder für jedes $x$ erfüllt ist, setzen wir ein beliebiges $x$, z. B. $x = {\color{maroon}1}$ in die Ungleichung ein:
$$ {\color{maroon}1}^2 + 1 > 0 \qquad \rightarrow 2 > 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist demnach:
$$ \mathbb{L} = \{\mathbb{R}\} $$
$ax^2 + bx = 0$
$$ x^2 + 9x {\color{red}\:>\:} 0 $$
Quadratische Gleichung lösen
$x$ ausklammern
$$ x \cdot (x + 9) = 0 $$
Faktoren gleich Null setzen
$$ \underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(x+9)}_{\text{2. Faktor}} = 0 $$
1. Faktor
$$ x = 0 $$
$$ \Rightarrow x_1 = 0 $$
2. Faktor
$$ x + 9 = 0 \qquad |{\color{gray}-9} $$
$$ x + 9 {\color{gray}\:-\:9} = {\color{gray}-9} $$
$$ x = -9 $$
$$ \Rightarrow x_2 = -9 $$
Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
$\mathbb{L}_1 = ]-\infty;{\color{red}-9[}$, $\mathbb{L}_2 = {\color{red}]-9};{\color{red}0[}$ und $\mathbb{L}_3 = {\color{red}]0};\infty[$
Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören
Aus dem 1. Intervall $]-\infty;-9[$ setzen wir ${\color{maroon}-10}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 + 9x > 0 $$
$$ ({\color{maroon}-10})^2 + 9 \cdot ({\color{maroon}-10}) > 0 \qquad \rightarrow 10 > 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Aus dem 2. Intervall $]-9;0[$ setzen wir ${\color{maroon}-1}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 + 9x > 0 $$
$$ ({\color{maroon}-1})^2 + 9 \cdot ({\color{maroon}-1}) > 0 \phantom{00}\qquad \rightarrow -8 > 0 \quad{\color{red}\times} $$
Aus dem 3. Intervall $]0;\infty[$ setzen wir ${\color{maroon}1}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 + 9x > 0 $$
$$ {\color{maroon}1}^2 + 9 \cdot {\color{maroon}1} > 0 \phantom{(-0)(-0)}\qquad \rightarrow 10 > 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist demnach
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_3 = ]-\infty;-9[ \:\cup\: ]0;\infty[ $$
$$ -2x^2 + 4x {\color{green}\:\leq\:} 0 $$
Quadratische Gleichung lösen
$x$ ausklammern
$$ x \cdot (-2x + 4) = 0 $$
Faktoren gleich Null setzen
$$ \underbrace{x\vphantom{()}}_{\text{1. Faktor}} \cdot \underbrace{(-2x + 4)}_{\text{2. Faktor}} = 0 $$
1. Faktor
$$ x = 0 $$
$$ \Rightarrow x_1 = 0 $$
2. Faktor
$$ -2x + 4 = 0 \qquad |{\color{gray}-4} $$
$$ -2x + 4 {\color{gray}\:-\:4} = {\color{gray}-4} $$
$$ -2x = -4 \qquad |:({\color{gray}-2}) $$
$$ \frac{-2x}{{\color{gray}-2}} = \frac{-4}{{\color{gray}-2}} $$
$$ x = 2 $$
$$ \Rightarrow x_2 = 2 $$
Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
$\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty;{\color{green}0]}$, $\mathbb{L}_2 = {\color{green}[0};{\color{green}2]}$ und $\mathbb{L}_3 = {\color{green}[2};\infty[$
Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören
Aus dem 1. Intervall $]-\infty;0]$ setzen wir ${\color{maroon}-1}$ in die Ungleichung ein:
$$ -2x^2 + 4x \leq 0 $$
$$ -2 \cdot ({\color{maroon}-1})^2 + 4 \cdot ({\color{maroon}-1}) \leq 0 \qquad \rightarrow -6 \leq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Aus dem 2. Intervall $[0;2]$ setzen wir ${\color{maroon}1}$ in die Ungleichung ein:
$$ -2x^2 + 4x \leq 0 $$
$$ -2 \cdot {\color{maroon}1}^2 + 4 \cdot {\color{maroon}1} \leq 0 \phantom{(-)(-)}\qquad \rightarrow 2 \leq 0 \quad{\color{red}\times} $$
Aus dem 3. Intervall $[2;\infty[$ setzen wir ${\color{maroon}3}$ in die Ungleichung ein:
$$ -2x^2 + 4x \leq 0 $$
$$ -2 \cdot {\color{maroon}3}^2 + 4 \cdot {\color{maroon}3} \leq 0 \phantom{(-)(-)}\qquad \rightarrow -6 \leq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist demnach
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_3 = ]-\infty;0] \:\cup\: [2;\infty[ $$
$ax^2 + bx + c = 0$
$$ x^2 - 6x + 8 {\color{red}\:<\:} 0 $$
Quadratische Gleichung lösen
Wir lösen die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel:
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \\[5px] &= \frac{6 \pm 2}{2} \end{align*} $$
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind dementsprechend
$$ x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2 $$
$$ x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 $$
Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen
$\mathbb{L}_1 = \: ]-\infty;{\color{red}2[}$, $\mathbb{L}_2 = {\color{red}]2};{\color{red}4[}$ und $\mathbb{L}_3 = {\color{red}]4};\infty[$
Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören
Aus dem 1. Intervall $]-\infty;2[$ setzen wir ${\color{maroon}1}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 - 6x + 8 < 0 $$
$$ {\color{maroon}1}^2 - 6 \cdot {\color{maroon}1} + 8 < 0 \qquad \rightarrow 3 < 0 \quad{\color{red}\times} $$
Aus dem 2. Intervall $]2;4[$ setzen wir ${\color{maroon}3}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 - 6x + 8 < 0 $$
$$ {\color{maroon}3}^2 - 6 \cdot {\color{maroon}3} + 8 < 0 \qquad \rightarrow -1 < 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$
Aus dem 3. Intervall $]4;\infty[$ setzen wir ${\color{maroon}5}$ in die Ungleichung ein:
$$ x^2 - 6x + 8 < 0 $$
$$ {\color{maroon}5}^2 - 6 \cdot {\color{maroon}5} + 8 < 0 \qquad \rightarrow 3 < 0 \quad{\color{red}\times} $$
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist demnach
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_2 = ]2;4[ $$
