Produktzeichen
In diesem Kapitel lernen wir das Produktzeichen kennen.
Definition
$$ \prod_{k=1}^{n} a_k = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n $$
Sprechweise
Produkt über
$a_k$ von $k = 1$ bis $k = n$
Bedeutung
Das Produktzeichen $\boldsymbol{\prod}$ dient zur vereinfachten Darstellung von Produkten.
Bei $\prod$ handelt es sich um den griechischen Großbuchstaben Pi
.
Symbolverzeichnis
$k$heißt Laufvariable oder Laufindex$1$heißt Startwert oder untere Grenze$n$heißt Endwert oder obere Grenze$a_k$ist die Funktion bezüglich der Laufvariable
Bezeichnung der Laufvariable
Die Laufvariable kann beliebig benannt werden.
$$ \prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{i=1}^{n} a_i = \prod_{j=1}^{n} a_j $$
Produkt berechnen
Wir erhalten alle Faktoren des Produkts, indem wir in $a_k$ für die Variable $k$ zunächst $1$ (= Startwert), dann $2$ usw. und schließlich $n$ (= Endwert) einsetzen.
Beispiele
Berechne das Produkt $\prod_{k=1}^{5} k^2$.
Vorüberlegungen
- Laufvariable:
$k$ - Startwert:
$1$ - Endwert:
$5$ - Funktion:
$a(k) = k^2$
Funktionswerte berechnen
$\boldsymbol{k}$ | $\to$ | $\boldsymbol{a(k) = k^2}$ |
|---|---|---|
$1$ | $\to$ | $a(1) = 1^2 = 1$ |
$2$ | $\to$ | $a(2) = 2^2 = 4$ |
$3$ | $\to$ | $a(3) = 3^2 = 9$ |
$4$ | $\to$ | $a(4) = 4^2 = 16$ |
$5$ | $\to$ | $a(5) = 5^2 = 25$ |
Produkt berechnen
$$ \begin{align*} \prod_{k={\color{red}1}}^{{\color{red}5}} k^2 &= {\color{red}1}^2 \cdot {\color{maroon}2}^2 \cdot {\color{maroon}3}^2 \cdot {\color{maroon}4}^2 \cdot {\color{red}5}^2 \\ &= 1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \\[5px] &= 14400 \end{align*} $$
Berechne das Produkt $\prod_{i=5}^{8} 3i$.
Vorüberlegungen
- Laufvariable:
$i$ - Startwert:
$5$ - Endwert:
$8$ - Funktion:
$a(i) = 3i$
Funktionswerte berechnen
$\boldsymbol{i}$ | $\to$ | $\boldsymbol{a(i) = 3i}$ |
|---|---|---|
$5$ | $\to$ | $a(5) = 3 \cdot 5 = 15$ |
$6$ | $\to$ | $a(6) = 3 \cdot 6 = 18$ |
$7$ | $\to$ | $a(7) = 3 \cdot 7 = 21$ |
$8$ | $\to$ | $a(8) = 3 \cdot 8 = 24$ |
Produkt berechnen
$$ \begin{align*} \prod_{i={\color{red}5}}^{{\color{red}8}} 3i &= (3 \cdot {\color{red}5}) \cdot (3 \cdot {\color{maroon}6}) \cdot (3 \cdot {\color{maroon}7}) \cdot (3 \cdot {\color{red}8}) \\ &= 15 \cdot 18 \cdot 21\cdot 24 \\[5px] &= 136080 \end{align*} $$
Berechne das Produkt $\prod_{j=1}^{4} (2j-1)$.
Vorüberlegungen
- Laufvariable:
$j$ - Startwert:
$1$ - Endwert:
$4$ - Funktion:
$a(j) = 2j-1$
Funktionswerte berechnen
$\boldsymbol{j}$ | $\to$ | $\boldsymbol{a(j) = 2j - 1}$ |
|---|---|---|
$1$ | $\to$ | $a(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ |
$2$ | $\to$ | $a(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ |
$3$ | $\to$ | $a(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ |
$4$ | $\to$ | $a(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7$ |
Produkt berechnen
$$ \begin{align*} \prod_{j={\color{red}1}}^{{\color{red}4}} (2j-1) &= (2 \cdot {\color{red}1} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{maroon}2} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{maroon}3} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{red}4} - 1) \\ &= 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \\[5px] &= 105 \end{align*} $$
Rechenregeln
Vorziehen konstanter Faktoren
$$ \prod_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c^n \cdot \prod_{k=1}^{n} a_k $$
Aufspalten eines Produkts
$$ \prod_{k=1}^{n} a_k = \left(\prod_{k=1}^{m} a_k\right) \left(\prod_{k=m+1}^{n} a_k\right) \quad (1 < m < n) $$
Produkt von Produkten
$$ \prod_{k=1}^{n} a_k \cdot b_k \cdot c_k \ldots = \left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right)\left(\prod_{k=1}^{n} b_k\right)\left(\prod_{k=1}^{n} c_k\right) \ldots $$
Umnummerierung
$$ \prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{k=m}^{m+n-1} a_{k-m+1}, \quad \prod_{k=m}^{n} a_k = \prod_{k=l}^{n-m+l} a_{k+m-l} $$
Vertauschen der Multiplikationsfolge bei Doppelprodukten
$$ \prod_{i=1}^{n}\prod_{k=1}^{m} a_{ik} = \prod_{k=1}^{m}\prod_{i=1}^{n} a_{ik} $$
Besondere Produkte
Fall: $\boldsymbol{m = n}$
$$ \prod_{k=n}^{n} a_k = a_n $$
Entspricht der Startwert dem Endwert, besteht das Produkt aus einem einzigen Faktor $a_n$.
Fall: $\boldsymbol{m > n}$
$$ \prod_{k=m}^{n} a_k = 1 $$
Ist der Startwert größer als der Endwert, ist das Produkt leer.
Ein leeres Produkt wird als $1$ definiert.
Zur Erinnerung: $1$ ist das neutrale Element
der Multiplikation.
$$ \prod_{k=m}^{n} c = c^{n - m + 1} $$
Wenn in dem Produkt eine Konstante – also ein Wert, der von der Laufvariable unabhängig ist – steht , kann das Produkt zu einer einfachen Potenz umgeschrieben werden.
Die obige Formel lässt sich noch vereinfachen, wenn der Startwert $1$ ist.
$$ \prod_{k=1}^{n} c = c^n $$
