Produktregel
In diesem Kapitel schauen wir uns die Produktregel etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
Einsatzzweck
Ableitung eines Produkts von Funktionen
Regel
Produktregel
$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)} $$
Anleitung
Faktoren der Produktfunktion einzeln ableiten
Produktfunktion ableiten
Formel aufschreiben
Werte einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2 \cdot x^3$.
Faktoren der Produktfunktion einzeln ableiten
Die Ableitungen der Faktoren der Produktfunktion $f(x) = x^2 \cdot x^3$ sind
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = x^2$ | $$g'(x) = {\color{red}2x}$$ |
$h(x) = x^3$ | $$h'(x) = {\color{red}3x^2}$$ |
Produktfunktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = {\color{red}2x} \cdot x^3 + x^2 \cdot {\color{red}3x^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{f'(x)} = 5x^4 $$
Berechne die Ableitung der Funktion $f(x) = -2x^4 \cdot 3x^{-5}$.
Faktoren der Produktfunktion einzeln ableiten
Die Produktfunktion $f(x) = -2x^4 \cdot 3x^{-5}$ besteht aus den Faktoren:
| Faktor | Ableitung |
|---|---|
$g(x) = -2x^4$ | $$g'(x) = {\color{red}-8x^3}$$ |
$h(x) = 3x^{-5}$ | $$h'(x) = {\color{red}-15x^{-6}}$$ |
Produktfunktion ableiten
Formel aufschreiben
$$ f'(x) = {\color{red}g'(x)} \cdot h(x) + g(x) \cdot {\color{red}h'(x)} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{f'(x)} = {\color{red}-8x^3} \cdot 3x^{-5} +(-2x^4) \cdot \left({\color{red}-15x^{-6}}\right) $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{f'(x)} &= -24x^{-2} + 30x^{-2} \\[5px] &= 6x^{-2} \end{align*} $$
Anmerkung
Normalerweise würden wir in den obigen Beispielen die Faktoren vor dem Ableiten gemäß den Potenzgesetzen zusammenfassen und uns so die Arbeit mit der Produktregel sparen. Zum Erlernen der Produktregel eignen sich diese einfachen Beispiele jedoch hervorragend.
Produktregel für mehr als zwei Faktoren
Die Produktregel kommt auch dann zum Einsatz, wenn mehr als zwei Funktionen durch ein Malzeichen miteinander verknüpft sind.
Produktregel für drei Faktoren
$$ f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) $$
$$ f'(x) ={\color{red}u'(x)} \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot {\color{red}v'(x)} \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot {\color{red}w'(x)} $$
Nach demselben Prinzip sind auch die Formeln für mehr als drei Faktoren aufgebaut.
