Polynomdivision
In diesem Kapitel besprechen wir die Polynomdivision anhand eines ausführlichen Beispiels.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Polynom?
- Was ist eine kubische Gleichung?
- Schriftliche Division
Einordnung
Wir können Polynome addieren.
Wir können Polynome voneinander subtrahieren.
Wir können Polynome miteinander multiplizieren.
…und deshalb ist es nur logisch, dass wir auch Polynome dividieren können.
Beispiel
Berechne
$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = \; ? \end{align*} $$
mithilfe einer Polynomdivision.
$\boldsymbol{x}^3$-Term
Division
$$ \begin{align*} &\quad ({\colorbox{yellow}{$2x^3$}} + 4x^2 - 2x - 4) : ({\colorbox{yellow}{$x$}}-1) = {\colorbox{yellow}{$2x^2$}} \end{align*} $$
Beschreibung
Wie oft passt $x$ in $2x^3$?
$$ \frac{2x^3}{x} = 2x^2 $$
Multiplikation
$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : {\colorbox{yellow}{$(x-1)$}} = {\colorbox{yellow}{$2x^2$}} \\[5px] &-({\colorbox{yellow}{$2x^3 - 2x^2$}}) \end{align*} $$
Beschreibung
Wir multiplizieren $2x^2$ mit $(x-1)$.
$$ 2x^2 \cdot (x - 1) = 2x^3 - 2x^2 $$
Das Ergebnis schreiben wir mit einem negativen Vorzeichen in die 2. Zeile.
Subtraktion
$$ \begin{align*} &\quad ({\colorbox{yellow}{$2x^3 + 4x^2 - 2x - 4$}}) : (x-1)= 2x^2 \\[5px] &{\colorbox{yellow}{$-(2x^3 - 2x^2)$}} \\ &\qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$6x^2- 2x - 4$}} \end{align*} $$
Beschreibung
Das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ziehen wir von der ursprünglichen Gleichung ab.
$$ 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 - (2x^3 - 2x^2) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 - 2x^3 + 2x^2 = 6x^2 - 2x - 4 $$
Das Ergebnis schreiben wir in die 3. Zeile.
$\boldsymbol{x}^2$-Term
Division
$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : ({\colorbox{yellow}{$x$}}-1) = 2x^2 + {\colorbox{yellow}{$6x$}} \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$6x^2$}}- 2x - 4 \end{align*} $$
Beschreibung
Wie oft passt $x$ in $6x^2$?
$$ \frac{6x^2}{x} = 6x $$
Multiplikation
$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : {\colorbox{yellow}{$(x-1)$}} = 2x^2 + {\colorbox{yellow}{$6x$}} \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4 \\[5px] &\qquad -({\colorbox{yellow}{$6x^2-6x$}}) \end{align*} $$
Beschreibung
Wir multiplizieren $6x$ mit $(x-1)$.
$$ 6x \cdot (x - 1) = 6x^2 - 6x $$
Das Ergebnis schreiben wir mit einem negativen Vorzeichen in die 4. Zeile.
Subtraktion
$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = 2x^2 + 6x \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$6x^2 - 2x - 4$}} \\[5px] &\qquad {\colorbox{yellow}{$-(6x^2-6x)$}} \\[5px] &\qquad \qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$4x - 4$}} \end{align*} $$
Beschreibung
Das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ziehen wir vom Restterm ab.
$$ 6x^2 - 2x - 4 - (6x^2 - 6x) = 6x^2 - 2x - 4 - 6x^2 + 6x = 4x - 4 $$
Das Ergebnis schreiben wir in die 5. Zeile.
$\boldsymbol{x}$-Term
Division
$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : ({\colorbox{yellow}{$x$}}-1) = 2x^2 + 6x + {\colorbox{yellow}{$4$}} \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4 \\[5px] &\qquad -(6x^2-6x) \\[5px] &\qquad \qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$4x$}} - 4 \end{align*} $$
Beschreibung
Wie oft passt $x$ in $4x$?
$$ \frac{4x}{x} = 4 $$
Multiplikation
$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : {\colorbox{yellow}{$(x-1)$}} = 2x^2 + 6x + {\colorbox{yellow}{$4$}} \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4 \\[5px] &\qquad -(6x^2-6x) \\[5px] &\qquad \qquad \qquad 4x - 4 \\[5px] &\qquad \qquad \quad -({\colorbox{yellow}{$4x-4$}}) \end{align*} $$
Beschreibung
Wir multiplizieren $4$ mit $(x-1)$.
$$ 4 \cdot (x - 1) = 4x - 4 $$
Das Ergebnis schreiben wir mit einem negativen Vorzeichen in die 6. Zeile.
Subtraktion
$$ \begin{align*} &\quad (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = 2x^2 + 6x + 4 \\[5px] &-(2x^3 - 2x^2) \\ &\qquad \qquad 6x^2 - 2x - 4 \\[5px] &\qquad -(6x^2-6x) \\[5px] &\qquad \qquad \qquad {\colorbox{yellow}{$4x - 4$}} \\[5px] &\qquad \qquad \quad {\colorbox{yellow}{$-(4x-4)$}} \\[5px] &\qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\colorbox{yellow}{$0$}} \end{align*} $$
Beschreibung
Das Ergebnis der vorherigen Multiplikation ziehen wir vom Restterm ab.
$$ 4x - 4 - (4x - 4) = 4x - 4 - 4x + 4 = 0 $$
Das Ergebnis schreiben wir in die 7. Zeile.
Da kein Rest übrig geblieben ist, ist die Polynomdivision beendet.
Falls wir richtig gerechnet haben, gilt:
$$ \left(2x^2 + 6x + 4\right) \cdot (x-1) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 $$
Anwendungen
Die Polynomdivision ist häufig dann gefragt, wenn es darum geht, Terme zu vereinfachen. So haben wir im obigen Beispiel einen kubischen Term ($2x^3 + 4x^2 - 2x - 4$) zu einem quadratischen Term ($2x^2 + 6x + 4$) reduziert – ein wesentlicher Schritt beim Lösen von kubischen Gleichungen.
