Ortsvektor

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Ortsvektor ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Vektor

Problemstellung

In vielen Aufgabenstellungen geht es darum, die Koordinatendarstellung des Vektors, der zwei gegebene Punkte miteinander verbindet, zu bestimmen. Das ist besonders einfach, wenn der Anfangspunkt des Vektors im Koordinatenursprung $O(0|0)$ des Koordinatensystems liegt.

Definition

Ein Vektor, dessen Anfangspunkt im Ursprung $O$ und dessen Endpunkt im Punkt $A$ liegt, heißt Ortsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{OA}}$ von $A$ .

Jedem Punkt der Ebene oder des Raums lässt sich eindeutig ein Ortsvektor zuordnen.

Beispiel 1

Gegeben ist der Punkt $A(3|2)$ .

Gesucht ist der Ortsvektor von $A$ .

Abb. 1 / Punkt

Der Vektor, dessen Anfangspunkt im Ursprung $O$ und dessen Endpunkt in $A$ liegt, heißt Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ von $A$ .

Abb. 2 / Ortsvektor

Vereinfachte Schreibweise

Wir können Schreibarbeit sparen, indem wir einen Ortsvektor einfach mit einem beliebigen kleinen Buchstaben bezeichnen. Der Verständlichkeit halber wird dazu jedoch meist der Endpunkt des Ortsvektors als Kleinbuchstabe verwendet.

Beispiel 2

$$ \vec{{\color{red}a}} = \overrightarrow{O{\color{red}A}} $$

Beispiel 3

$$ \vec{{\color{red}b}} = \overrightarrow{O{\color{red}B}} $$

Beispiel 4

$$ \vec{{\color{red}p}} = \overrightarrow{O{\color{red}P}} $$

Beispiel 5

$$ \vec{{\color{red}q}} = \overrightarrow{O{\color{red}Q}} $$

Spezialfall eines Verbindungsvektors

Jeder Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ kann auch als Verbindungsvektor zweier Punkte, nämlich des Nullpunkts $O$ mit dem Punkt $A$ , verstanden werden.

Ortsvektor berechnen

…die Überschrift lügt! Hier muss gar nichts berechnet werden!

Der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ von $A$ hat dieselben Koordinaten wie $A$ :

$$ A(x|y) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Beispiel 6

$$ A(3|2) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Abb. 3 / Koordinaten eines Ortsvektors