Mittlere absolute Abweichung
Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist die mittlere absolute Abweichung.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Die mittlere absolute Abweichung ist ein Streuungsparameter.
Unter dem Begriff Streuungsparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Verteilung von einzelnen Werten um den Mittelwert machen.
Mittlere absolute Abweichung berechnen
Formel für die mittlere absolute Abweichung
$$ D = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| $$
Dabei gilt:
$D$= mittlere absolute Abweichung (engl. average absolute deviation)$n$= Anzahl an Beobachtungswerten$x_{i}$=$i$-ter Beobachtungswert$\bar{x}$= Mittelwert der Verteilung
Um welchen Mittelwert es sich bei $\bar{x}$ handelt, ist nicht festgelegt. In Frage kommt sowohl das arithmetische Mittel als auch der Median sowie der Modus der Verteilung.
Unabhängig davon, welchen Mittelwert man verwendet, geht man folgendermaßen vor:
Mittelwert berechnen
Abstände der Beobachtungswerte vom Mittelwert berechnen
Formel anwenden
Die mittlere absolute Abweichung nimmt in Abhängigkeit des gewählten Mittelwerts unterschiedliche Werte an.
Gegeben ist folgende Verteilung
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\ \hline \end{array} $$
Berechne die mittlere absolute Abweichung aus Basis des arithmetischen Mittels.
Mittelwert berechnen
$$ \bar{x} = {\color{blue}{5}} $$
Abstände der Beobachtungswerte vom Mittelwert berechnen
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\ \hline |x_i - \bar{x}| & |2 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{3}} &|2 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{3}} & |3 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{2}} & |4 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{1}} & |14 - {\color{blue}{5}}| ={\color{red}{9}} \\ \hline \end{array} $$
Mittlere absolute Abweichung berechnen
$$ D = \frac{1}{5} \cdot ({\color{red}{3}} +{\color{red}{3}} +{\color{red}{2}} +{\color{red}{1}} +{\color{red}{9}}) = \frac{1}{5} \cdot 18 = 3{,}6 $$
Gegeben ist folgende Verteilung
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\ \hline \end{array} $$
Berechne die mittlere absolute Abweichung auf Basis des Medians.
Mittelwert berechnen
$$ \tilde{x} = {\color{blue}{3}} $$
Abstände der Beobachtungswerte vom Mittelwert berechnen
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\ \hline |x_i - \tilde{x}| & |2 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{1}} &|2 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{1}} & |3 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{0}} & |4 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{1}} & |14 - {\color{blue}{3}}| ={\color{red}{11}} \\ \hline \end{array} $$
Mittlere absolute Abweichung berechnen
$$ D = \frac{1}{5} \cdot ({\color{red}{1}} +{\color{red}{1}} +{\color{red}{0}} +{\color{red}{1}} +{\color{red}{11}}) = \frac{1}{5} \cdot 14 = 2{,}8 $$
Gegeben ist folgende Verteilung
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\ \hline \end{array} $$
Berechne die mittlere absolute Abweichung auf Basis des Modus.
Mittelwert berechnen
$$ \bar{x}_d = {\color{blue}{2}} $$
Abstände der Beobachtungswerte vom Mittelwert berechnen
$$ \begin{array}{r|r|r|r|r|r} \hline x_i & 2 & 2 & 3 & 4 & 14 \\ \hline |x_i - \bar{x}_d| & |2 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{0}} &|2 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{0}} & |3 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{1}} & |4 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{2}} & |14 - {\color{blue}{2}}| ={\color{red}{12}} \\ \hline \end{array} $$
Mittlere absolute Abweichung berechnen
$$ D = \frac{1}{5} \cdot ({\color{red}{0}} +{\color{red}{0}} +{\color{red}{1}} +{\color{red}{2}} +{\color{red}{12}}) = \frac{1}{5} \cdot 15 = 3 $$
