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Matrizen­multiplikation

In diesem Kapitel lernen wir, wie man Matrizen multipliziert.

Voraussetzung 

Zwei Matrizen lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.

Beispiel 1 

Ist eine Multiplikation der Matrizen

$$ A_{(2,{\color{green}3})} \cdot B_{({\color{green}3},2)} = \begin{pmatrix} {\color{green}a_{11}} & {\color{green}a_{12}} & {\color{green}a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{green}b_{11}} & b_{12} \\ {\color{green}b_{21}} & b_{22} \\ {\color{green}b_{31}} & b_{32} \end{pmatrix} $$

möglich?

Das Multiplizieren von $A$ und $B$ ist möglich, da die Spaltenanzahl von $A$ der Zeilenanzahl von $B$ entspricht.

Beispiel 2 

Ist eine Multiplikation der Matrizen

$$ A_{(2,{\color{red}3})} \cdot B_{({\color{red}2},2)} = \begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} & {\color{red}a_{12}} & {\color{red}a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}b_{11}} & b_{12} \\ {\color{red}b_{21}} & b_{22} \end{pmatrix} $$

möglich?

Das Multiplizieren von $A$ und $B$ ist nicht möglich, da die Spaltenanzahl von $A$ nicht der Zeilenanzahl von $B$ entspricht.

Produktmatrix 

Das Ergebnis der Multiplikation heißt Produktmatrix, Matrixprodukt oder Matrizenprodukt.

Die Produktmatrix hat so viele Zeilen wie die Matrix $A$ und so viele Spalten wie die Matrix $B$.

Beispiel 3 

$$ A_{({\color{blue}2},3)} \cdot B_{(3,{\color{blue}2})} = C_{({\color{blue}2},{\color{blue}2})} $$

$$ \begin{pmatrix} {\color{blue}a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{blue}a_{21}} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}b_{11}} & {\color{blue}b_{12}} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}c_{11}} & {\color{blue}c_{12}} \\ {\color{blue}c_{21}} & {\color{blue}c_{22}} \end{pmatrix} $$

Beispiel 4 

$$ A_{({\color{blue}2},3)} \cdot B_{(3,{\color{blue}4})} = C_{({\color{blue}2},{\color{blue}4})} $$

$$ \begin{pmatrix} {\color{blue}a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{blue}a_{21}} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}b_{11}} & {\color{blue}b_{12}} & {\color{blue}b_{13}} & {\color{blue}b_{14}} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}c_{11}} & {\color{blue}c_{12}} & {\color{blue}c_{13}} & {\color{blue}c_{14}} \\ {\color{blue}c_{21}} & {\color{blue}c_{22}} & {\color{blue}c_{23}} & {\color{blue}c_{24}} \end{pmatrix} $$

Rechenregeln 

$$ (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) $$

Assoziativgesetz

$$ A \cdot (B+C) = (A \cdot B) + (A \cdot C) $$

$$ (A + B) \cdot C = (A \cdot C) + (B \cdot C) $$

Distributivgesetz

ACHTUNG!

Im Allgemeinen gilt: $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Das Kommutativgesetz (der Multiplikation) gilt für Matrizen nicht!

Matrizenmultiplikation mit dem Falk-Schema 

Um Matrizen per Hand zu multiplizieren, verwendet man meist das sog. Falk-Schema.

Kreuz einzeichnen

Matrix $\boldsymbol{A}$ unten links eintragen

Matrix $\boldsymbol{B}$ oben rechts eintragen

Ergebnismatrix $\boldsymbol{C}$ unten rechts eintragen

Elemente der Ergebnismatrix $\boldsymbol{C}$ berechnen

Ergebnis notieren

Am besten ist es, wenn wir das Falk-Schema anhand eines Beispiels erklären:

Beispiel 5 

Gegeben sind die Matrizen

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. $$

Berechne das Matrixprodukt $A \cdot B$.

Kreuz einzeichnen

$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ &&& \phantom{1} & \phantom{2} \\ &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ \hline \phantom{1} & \phantom{2} & \phantom{3} & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\ \phantom{3} & \phantom{1} & \phantom{1} & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}} \end{array} $$

Matrix A unten links eintragen

$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ &&& \phantom{1} & \phantom{2} \\ &&& \phantom{2} & \phantom{1} \\ \hline 1 & 2 & 3 & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}} \end{array} $$

Matrix B oben rechts eintragen

$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & 1\\ &&& 1 & 2\\ &&& 2 & 1\\ \hline 1 & 2 & 3 & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}} \end{array} $$

Ergebnismatrix C unten rechts eintragen

Hinweis: Diesen Schritt kann man auslassen, wenn man bereits einige Aufgaben gelöst hat.

$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & 1 \\ &&& 1 & 2 \\ &&& 2 & 1 \\ \hline 1 & 2 & 3 & {\color{red}x_{11}} & {\color{orange}x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & {\color{blue}x_{21}} & {\color{cyan}x_{22}} \end{array} $$

Elemente der Ergebnismatrix C berechnen

${\color{red}x_{11}}$ ergibt sich aus dem Skalarprodukt der 1. Zeile der Matrix $A$ und der 1. Spalte der Matrix $B$.

$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& {\color{red}2} & 1 \\ &&& {\color{red}1} & 2 \\ &&& {\color{red}2} & 1 \\ \hline {\color{red}1} & {\color{red}2} & {\color{red}3} & {\color{red}x_{11}} & x_{12} \\ 3 & 1 & 1 & x_{21} & x_{22} \end{array} $$

$$ x_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = {\color{red}10} $$

${\color{orange}x_{12}}$ ergibt sich aus dem Skalarprodukt der 1. Zeile der Matrix $A$ und der 2. Spalte der Matrix $B$.

$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & {\color{orange}1} \\ &&& 1 & {\color{orange}2} \\ &&& 2 & {\color{orange}1} \\ \hline {\color{orange}1} & {\color{orange}2} & {\color{orange}3} & x_{11} & {\color{orange}x_{12}} \\ 3 & 1 & 1 & x_{21} & x_{22} \end{array} $$

$$ x_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = {\color{orange}8} $$

${\color{blue}x_{21}}$ ergibt sich aus dem Skalarprodukt der 2. Zeile der Matrix $A$ und der 1. Spalte der Matrix $B$.

$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& {\color{blue}2} & 1 \\ &&& {\color{blue}1} & 2 \\ &&& {\color{blue}2} & 1 \\ \hline 1 & 2 & 3 & x_{11} & x_{12} \\ {\color{blue}3} & {\color{blue}1} & {\color{blue}1} & {\color{blue}x_{21}} & x_{22} \end{array} $$

$$ x_{21} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1\cdot 2 = {\color{blue}9} $$

${\color{cyan}x_{22}}$ ergibt sich aus dem Skalarprodukt der 2. Zeile der Matrix $A$ und der 2. Spalte der Matrix $B$.

$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & {\color{cyan}1} \\ &&& 1 & {\color{cyan}2} \\ &&& 2 & {\color{cyan}1} \\ \hline 1 & 2 & 3 & x_{11} & x_{12} \\ {\color{cyan}3} & {\color{cyan}1} & {\color{cyan}1} & x_{21} & {\color{cyan}x_{22}} \end{array} $$

$$ x_{22} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = {\color{cyan}6} $$

Ergebnis notieren

$$ \begin{array}{rrr|cc} &&& 2 & 1 \\ &&& 1 & 2 \\ &&& 2 & 1 \\ \hline 1 & 2 & 3 & {\color{red}10} & {\color{orange}8} \\ 3 & 1 & 1 & {\color{blue}9} & {\color{cyan}6} \end{array} $$

Die Ergebnismatrix lautet demnach

$$ C = \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 9 & 6 \end{pmatrix} $$

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