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Lösbarkeit linearer Gleichungs­systeme

In diesem Kapitel sprechen wir über die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Anleitung 

Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix bestimmen

Ergebnis interpretieren

Es gibt folgende drei Lösungsfälle:

Keine Lösung

$$ \text{rang}(A) \neq \text{rang}(A|\vec{b}) $$

Es gibt keine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix $A$ nicht dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix $(A|\vec{b})$ entspricht.

Eindeutige Lösung

$$ \text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) = n $$

Es gibt eine eindeutige Lösung, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix der Anzahl der Variablen $n$ entspricht.

Unendlich viele Lösungen

$$ \text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) < n $$

Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen $n$ ist.

Beispiele 

In den folgenden Beispielen wurden die lineare Gleichungssysteme bereits mithilfe des Gauß-Algorithmus in die obere Dreiecksform gebracht. Wir konzentrieren uns darauf, die Ränge abzulesen und das Ergebnis zu interpretieren.

Beispiel 1 

Gegeben sei ein LGS durch

$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right) $$

Triff eine Aussage über die Lösbarkeit des LGS.

Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix bestimmen

$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & 3 \end{array} \right) $$

$$ \Rightarrow \text{rang}(A) = 2 $$

$$ \Rightarrow \text{rang}(A|\vec{b}) = 3 $$

Anmerkung: Das LGS hat $n = 3$ Variablen.

Ergebnis interpretieren

$$ \text{rang}(A) \neq \text{rang}(A|\vec{b}) $$

$\Rightarrow$ Es gibt keine Lösung.

Beispiel 2 

Gegeben sei ein LGS durch

$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 9 & 3 \end{array} \right) $$

Triff eine Aussage über die Lösbarkeit des LGS.

Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix bestimmen

$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & 9 & 3 \end{array} \right) $$

$$ \Rightarrow \text{rang}(A) = 3 $$

$$ \Rightarrow \text{rang}(A|\vec{b}) = 3 $$

Anmerkung: Das LGS hat $n = 3$ Variablen.

Ergebnis interpretieren

$$ \text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) = n $$

$\Rightarrow$ Es gibt eine eindeutige Lösung.

Beispiel 3 

Gegeben sei ein LGS durch

$$ (A|\vec{b})= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Triff eine Aussage über die Lösbarkeit des LGS.

Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix bestimmen

$$ (A|\vec{b}) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 6 & 2 \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}0} \end{array} \right) $$

$$ \Rightarrow \text{rang}(A) = 2 $$

$$ \Rightarrow \text{rang}(A|\vec{b}) = 2 $$

Anmerkung: Das LGS hat $n = 3$ Variablen.

Ergebnis interpretieren

$$ \text{rang}(A) = \text{rang}(A|\vec{b}) < n $$

$\Rightarrow$ Es gibt unendlich viele Lösungen.

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