Lineare Ungleichungssysteme
In diesem Kapitel lernst du, wie man lineare Ungleichungssysteme (mit einer Variable) löst.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Wenn du bereits weißt, wie man lineare Ungleichungen löst, wird dir dieses Thema keine Schwierigkeiten bereiten. Ein lineares Ungleichungssystem besteht nämlich aus (mindestens) zwei linearen Ungleichungen, die wir getrennt voneinander lösen:
Die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems entspricht der Schnittmenge der Lösungsmengen der einzelnen linearen Ungleichungen.
Anleitung
Lineare Ungleichungen lösen
Schnittmenge der einzelnen Lösungsmengen berechnen
zu 1)
Im 1. Schritt lösen wir die linearen Ungleichungen getrennt voneinander. Wir führen jeweils solange Äquivalenzumformungen durch, bis das $x$ allein auf der linken Seite der Ungleichung steht. Dazu dürfen wir:
Terme auf beiden Seiten der Ungleichung zusammenfassen
Denselben Term auf beiden Seiten der Ungleichung addieren/subtrahieren
Beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven* Zahl multiplizieren
Beide Seiten der Ungleichung durch dieselbe positive* Zahl dividieren
* Bei der Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl müssen wir das Ungleichungszeichen umdrehen.
Die Lösungsmengen geben wir als Intervalle an.
zu 2)
Im 2. Schritt bilden wir die Schnittmenge der einzelnen Lösungsmengen. Zur Erinnerung: Die Schnittmenge $\mathbb{L}_1 \cap \mathbb{L}_2$ zweier Mengen $\mathbb{L}_1$ und $\mathbb{L}_2$ ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu $\mathbb{L}_1$ als auch $\mathbb{L}_2$ gehören.
Beispiele
Gegeben ist das folgende lineare Ungleichungssystem
$$ \begin{align*} x + 2 &> 1 \\ 3x-2 &< 1 \end{align*} $$
Lineare Ungleichungen lösen
Ungleichung 1
$$ x + 2 > 1 $$
$$ x + 2 {\color{red}\:-\:2} > 1 {\color{red}\:-\:2} $$
$$ x > -1 $$
$$ \mathbb{L}_1 = \left]-1;\infty\right[ $$
Ungleichung 2
$$ 3x - 2 < 1 $$
$$ 3x - 2 {\color{red}\:+\:2} < 1 {\color{red}\:+\:2} $$
$$ 3x < 3 $$
$$ \frac{3x}{{\color{red}3}} < \frac{3}{{\color{red}3}} $$
$$ x < 1 $$
$$ \mathbb{L}_2 = \left]-\infty;1\right[ $$
Schnittmenge der einzelnen Lösungsmengen berechnen
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cap \mathbb{L}_2 $$
$$ \mathbb{L} = \left]-1;\infty\right[ \:\cap\: \left]-\infty;1\right[ = \left]-1;1\right[ $$
Für $x$-Werte zwischen $-1$ (ausgeschlossen) und $1$ (ausgeschlossen) sind beide Ungleichungen – und somit das lineare Ungleichungssystem – erfüllt.
Gegeben ist das folgende lineare Ungleichungssystem
$$ \begin{align*} 2x + 1 &> 1 \\ x-2 &< 1 \\ 3x - 3 &\leq 0 \end{align*} $$
Lineare Ungleichungen lösen
Ungleichung 1
$$ 2x + 1 > 1 $$
$$ 2x + 1 {\color{red}\:-\:1} > 1 {\color{red}\:-\:1} $$
$$ 2x > 0 $$
$$ \frac{2x}{{\color{red}2}} > \frac{0}{{\color{red}2}} $$
$$ x > 0 $$
$$ \mathbb{L}_1 = \left]0;\infty\right[ $$
Ungleichung 2
$$ x - 2 < 1 $$
$$ x - 2 {\color{red}\:+\:2} < 1 {\color{red}\:+\:2} $$
$$ x < 3 $$
$$ \mathbb{L}_2 = \left]-\infty;3\right[ $$
Ungleichung 3
$$ 3x - 3 \leq 0 $$
$$ 3x - 3 {\color{red}\:+\:3} \leq 0 {\color{red}\:+\:3} $$
$$ 3x \leq 3 $$
$$ \frac{3x}{{\color{red}3}} \leq \frac{3}{{\color{red}3}} $$
$$ x \leq 1 $$
$$ \mathbb{L}_3 = \left]-\infty;1\right] $$
Schnittmenge der einzelnen Lösungsmengen berechnen
$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cap \mathbb{L}_2 \cap \mathbb{L}_3 $$
$$ \mathbb{L} =\left]0;\infty\right[ \:\cap\: \left]-\infty;3\right[ \:\cap\: \left]-\infty;1\right] = \left]0;1\right] $$
Für $x$-Werte zwischen $0$ (ausgeschlossen) und $1$ (eingeschlossen) sind alle drei Ungleichungen – und somit das lineare Ungleichungssystem – erfüllt.
