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Lineare Gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Gleichungen sind.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Eine Gleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen in die Form

$$ ax + b = 0 $$

bringen lässt, heißt lineare Gleichung.

Tipp: Wir können lineare Gleichungen daran erkennen, dass die Variable nur in der 1. Potenz auftritt – also kein $x^2$, $x^3$, … enthalten.

Beispiel 1 

$$ 7x - 5 = 0 $$

Beispiel 2 

$$ 2x = 3 - 8x $$

Beispiel 3 

$$ 4 (x-1) = 3x+5 $$

Lineare Gleichungen lösen 

Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

Lösungsmenge aufschreiben

zu 1)

Wir lösen die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach $x$ auf.

Beispiel 4 

Löse die lineare Gleichung

$$ x + 9 = 0 $$

mithilfe von Äquivalenzumformungen.

Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$$ \begin{align*} x + 9 &= 0 &&|\, -9 \\[5px] x &= -9 \end{align*} $$

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{-9\} $$

Beispiel 5 

Löse die lineare Gleichung

$$ 2x - 1 = 3 $$

mithilfe von Äquivalenzumformungen.

Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$$ \begin{align*} 2x - 1 &= 3 &&|\, +1 \\[5px] 2x &= 4 &&|\, :2 \\[5px] x &= 2 \end{align*} $$

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{2\} $$

Beispiel 6 

Löse die lineare Gleichung

$$ 2 (2x - 1) = 3 (x + 1) $$

mithilfe von Äquivalenzumformungen.

Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$$ \begin{align*} 2 (2x - 1) &= 3 (x + 1) &&| \text{ Ausmultiplizieren} \\[5px] 4x - 2 &= 3x + 3 &&|\, -3x \\[5px] x - 2 &= 3 &&|\, +2 \\[5px] x &= 5 \end{align*} $$

Lösungsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{L} = \{5\} $$

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