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Kurvendiskussion - Gebrochenrationale Funktion

In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer ganzrationalen Funktion durch.

Im Zentrum unserer Betrachtung ist die Funktion

\[f(x) = \frac{x^2}{x+1}\]

Zu allen betrachteten Fragestellungen gibt es auch einen eigenen Artikel:

  1. Definitionsbereich bestimmen
  2. Nullstellen berechnen
  3. Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen
  4. Polstellen berechnen
  5. Verhalten im Unendlichen
  6. Asymptoten berechnen
  7. Symmetrieverhalten
  8. Extremwerte berechnen
  9. Monotonieverhalten
  10. Krümmungsverhalten
  11. Wendepunkt und Wendetangente
  12. Wertebereich bestimmen
  13. Graph zeichnen

1. Definitionsbereich

Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:
"Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?"

Merke: Der Nenner eines Bruchs darf nie Null werden!

Wann wird der Nenner Null?

\(x + 1 = 0 \quad \rightarrow \quad x = -1\)

Für unsere Aufgabe gilt also: \(D_f = \mathbb{R} \backslash \{-1\}\)

2. Nullstellen

Unter eine Nullstelle versteht man den Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse.

Ansatz zur Berechnung der Nullstellen

\(f(x) = 0\)

Merke: Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist - d.h. es reicht, wenn wir den Zähler untersuchen.

\(f(x) = 0\), wenn \(x^2 = 0 \quad \rightarrow \quad x = 0\)

Es ist leicht zu erkennen, dass es sich um eine doppelte Nullstelle handelt. Das bedeutet, dass es sich an dieser Stelle lediglich um einen Berührpunkt mit der x-Achse handelt.

3. Schnittpunkt mit der y-Achse

Den Schnittpunkt eines Graphen mit der y-Achse bezeichnet man auch als y-Achsenabschnitt.

Ansatz zur Berechnung des Schnittpunktes mit der y-Achse

\(f(0)\)

Wir müssen also \(x = 0\) in die Funktion einsetzen.

\[f(0) = \frac{0^2}{0+1} = 0\]

Der Graph schneidet die y-Achse im Koordinatenursprung.

4. Polstellen

Wie verhält sich der Graph der Funktion bei Annäherung an die Definitionslücke?

Verhalten rechts von der Definitionslücke
-> Setze Werte in die Funktion ein, die minimal größer sind als -1.

\[\lim_{x\to -1+0} \left(\frac{x^2}{x+1}\right) = +\infty\]

Verhalten links von der Definitionslücke
-> Setze Werte in die Funktion ein, die minimal kleiner sind als -1.

\[\lim_{x\to -1-0} \left(\frac{x^2}{x+1}\right) = -\infty\]

5. Verhalten im Unendlichen

Was passiert, wenn wir in unsere Funktion sehr große bzw. sehr kleine Zahlen einsetzen?

Für große Werte strebt die Funktion gegen "+ unendlich".

\[\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}\right) = \infty\]

Für kleine Werte strebt die Funktion gegen "- unendlich".

\[\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2}{x+1}\right) = -\infty\]

6. Asymptoten

Eine Asymptote ist eine Funktion, die sich einer anderen Funktion im Unendlichen annähert. In der Schulmathematik sind vor allem waagrechte, senkrechte und schiefe Asymptoten relevant.

\(x = -1\) ist die Gleichung einer senkrechten Asymptote, da für \(x = -1\) eine Unendlichkeitsstelle (Polstelle) vorliegt.

Außerdem gibt es eine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers um 1 größer ist als der Grad des Nenners. Diese Asymptote kann durch die Polynomdivision von Zähler durch Nenner gefunden werden.

\[\begin{array}{l}
\quad x^2:(x+1)= x - 1 + \frac{1}{x+1} \\
-(x^2 + x) \\
\qquad \quad  -x \\
\qquad  -(-x-1) \\
\qquad \qquad \qquad 1
\end{array}\]

Da der Nennergrad des Bruchs (ganz rechts in der Gleichung) größer ist als der Zählergrad, wird dieser Restterm für sehr große x-Werte immer kleiner und nähert sich Null an.

\[\lim_{x\to \pm\infty}\left(\frac{1}{x+1}\right) = 0\]

Der Graph der Funktion strebt deshalb gegen die schiefe Asymptote mit der Gleichung

\(g(x) = x-1\)

7. Symmetrie

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = f(x)\)

Punktssymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = -f(x)\)

Um zu überprüfen, ob eine Funktion symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist, setzt man "\(-x\)" in die Funktion ein und analysiert das Ergebnis.

\[f(-x) = \frac{(-x)^2}{-x+1} = \frac{x^2}{-x+1} \]

Die Funktion ist weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.

8. Extrempunkte

Für einen Hochpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) < 0\)

Für einen Tiefpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) > 0\)

Zunächst berechnen wir die 1. Ableitung der gebrochenrationalen Funktion

\[f'(x) = \frac{(x+1) \cdot 2x - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}\]

Anschließend setzen wir die 1. Ableitung gleich Null, um die Extremwerte zu berechnen.

\[f'(x) = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = 0\]

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

\(x^2 + 2x = 0\)

\(x \cdot (x + 2) = 0\)

Die beiden Nullstellen heißen: \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 0\).

Als nächstes berechnen wir die 2. Ableitung

\[\begin{align*}f''(x) &= \frac{(x+1)^2 \cdot (2x + 2) - \left(x^2 + 2x\right) \cdot 2(x+1) }{(x+1)^4} \\
&= \frac{(x+1) \cdot\left[2x^2 + 2x + 2x + 2 - 2x^2 - 4x\right]}{(x+1)^4} = \frac{2}{(x+1)^3}
\end{align*}\]

Nun setzen wir die berechneten Werte in die 2. Ableitung ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden.

\[f''(x_1) = f''(-2) = \frac{2}{(-2+1)^3} = -2 < 0\]

\[f''(x_2) = f''(0) = \frac{2}{(0+1)^3} =  2 > 0\]

Wir wissen jetzt, dass an der Stelle \(x_1\) ein Hochpunkt und an der Stelle \(x_2\) ein Tiefpunkt vorliegt.

Wir müssen noch den y-Wert der beiden Punkte berechnen, indem wir \(x_1\) bzw. \(x_2\) in die ursprüngliche (!) Funktion einsetzen.

\[f(x_1) = f(-2) = \frac{(-2)^2}{-2+1} = -4\]

\[f(x_2) = f(0) = \frac{0^2}{0+1} = 0\]

Der Hochpunkt hat die Koordinaten H (-2 | -4).

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten T (0 | 0).

9. Monotonieverhalten

Die Funktion f ist streng monoton zunehmend, wenn \(f'(x) > 0\) gilt.

Die Funktion f ist streng monoton abnehmend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt.

Da wir gerade die Extremwerte berechnet haben und auch wissen, wie sich der Graph an der Unendlichkeitsstelle verhält, lässt sich leicht logisch erklären, in welchen Bereichen die Funktion steigt bzw. fällt.

  • Im Bereich \[\left]-\infty;-2\right[\]-> streng monoton steigend, da die Funktion bis zum Hochpunkt steigt

  • Im Bereich \[\left]-2;-1\right[\]-> streng monoton fallend, da die Funktion zwischen Hochpunkt und Unendlichkeitsstelle gegen "- unendlich" strebt

  • Im Bereich \[\left]-1;0\right[\]-> streng monoton fallend, da die Funktion von "+ unendlich" bis zum Tiefpunkt fällt

  • Im Bereich \[\left]0;\infty\right[\]-> streng monoton steigend, da die Funktion vom Tiefpunkt an wieder ansteigt

Wer sich das nicht logisch erschließen kann oder die Extremwerte noch nicht berechnet hat, sollte eine Monotonietabelle nach folgendem Schema aufstellen.

  • Die Nullstellen der 1. Ableitung und Definitionslücken geben die Bereiche vor, die man untersuchen muss.
    -> der erste Bereich geht von "- unendlich" bis zur ersten Nullstelle der 1. Ableitung
    -> der zweite Bereich ist zwischen der ersten Nullstelle der 1. Ableitung und der Definitionslücke
    -> der dritte Bereich ist zwischen der Definitionslücke und der zweiten Nullstelle der 1. Ableitung
    -> der vierte Bereich ist geht von der zweiten Nullstelle der 1. Ableitung bis "+ unendlich"
  • Wähle aus jedem Intervall irgendeinen Wert, setze ihn in die 1. Ableitung ein und notiere das Vorzeichen in der zweiten Reihe.

\[\begin{array}{c|cccc}
&\left]-\infty;-2\right[ &\left]-2;-1\right[ &\left]-1;0\right[ & \left]0;\infty\right[ \\
\hline
f'(x) & + & - & - & +\\
& \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend}
\end{array}\]

10. Krümmung

Der Graph ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\) gilt.

Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn  \(f''(x) < 0\) gilt.

Wir müssen uns überlegen, wann die 2. Ableitung größer bzw. kleiner Null wird.

\[f''(x) = \frac{2}{(x+1)^3} > 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{für } x > -1\]

\[f''(x) = \frac{2}{(x+1)^3} < 0 \qquad \rightarrow \qquad \text{für } x < -1\]

Für \(x > -1\) ist der Graph linksgekrümmt - entsprechend ist er für \(x < -1\) rechtsgekrümmt.

11. Wendepunkt und Wendetangente

Da die zweite Ableitung nicht Null werden kann, gibt es weder einen Wendepunkt noch eine Wendetangente.

\(f''(x) = 0\)

\[f''(x) = \frac{2}{(x+1)^3} \neq 0\]

12. Wertebereich

Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:
"Welche y-Werte kann die Funktion annehmen?"

Der Wertebereich geht in diesem Fall von "- unendlich" bis zum Hochpunkt (y-Wert!) und vom Tiefpunkt (y-Wert!) bis "+ unendlich".

Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: \(W_f = \left]-\infty; -4\right] \wedge \left[0; +\infty\right[\)

13. Wertetabelle und Graph

\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -4 & -3 & -2 & -1,5 & -0,5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
f'(x) & -5,33 & -4,50 & -4 & -4,50 & 0,5 & 0 & 0,5 & 1,33 & 2,25
\end{array}\]

Nullstellen
\(x_1 = 0\)(doppelte Nullstelle)

Extrempunkte
Hochpunkt H (-2 | -4)
Tiefpunkt T (0 | 0)

Asymptoten (in rot)
senkrecht: \(x = -1\)
schief: \(y= x-1\)

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Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 1,6 Millionen Mal aufgerufen. Besuch sein Profil auf Google+, um mehr über den Autor zu erfahren.

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