Komplexe Zahlen multiplizieren
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man komplexe Zahlen multipliziert.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Gegeben sind zwei komplexe Zahlen
$$ z_1 = x_1 + y_1 \cdot i $$
$$ z_2 = x_2 + y_2 \cdot i $$
Das Produkt der beiden Zahlen ist definiert durch
$$ \begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= (x_1 + y_1 \cdot i) \cdot (x_2 + y_2 \cdot i) \\[5px] &= x_1x_2 + x_1y_2 \cdot i + x_2y_1 \cdot i + y_1y_2 \cdot i^2 \qquad \text{Hinweis: $i^2 = -1$} \\[5px] &= (x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1) \cdot i \end{align*} $$
Rechengesetze
Kommutativgesetz der Multiplikation
$$ z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 $$
Assoziativgesetz der Multiplikation
$$ z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 $$
Distributivgesetz
$$ z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 $$
Beispiele
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 3 + 4i$ und $z_2 = 5 + 2i$.
Berechne $z_1 \cdot z_2$.
$$ \begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= (3 + 4i) \cdot (5 + 2i) \\[5px] &= 15 + 6i + 20i + 8i^2 && |\; i^2 = -1 \\[5px] &=15 + 26i + 8 \cdot (-1) \\[5px] &= 7 + 26i \end{align*} $$
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = -7 + 5i$ und $z_2 = 3 - 3i$.
Berechne $z_1 \cdot z_2$.
$$ \begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= (-7 + 5i) \cdot (3 - 3i) \\[5px] &= -21 + 21i + 15i - 15i^2 && |\; i^2 = -1 \\[5px] &= -21 + 36i - 15 \cdot (-1) \\[5px] &= -6 + 36i \end{align*} $$
